33+31+29+27+25=145.
Потом мы увидели того самого карликана, который собирался рыть котлован для фундамента. Он стоял возле одного Составителя, и они решали его задачу. Мы подошли и стали помогать. Это уравнение оказалось посложней первого.
— Итак, — сказал Составитель, — у вас три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй — за три, третий — за двенадцать. Неважный, наверное, экскаватор. Вы хотите, чтобы все три работали одновременно. Конечно, так они выроют котлован быстрее. Но за какое время? Составим уравнение. Что примем за икс?
— Время, за которое все три экскаватора выроют весь котлован, — предложил я.
— Верно. Давайте дальше.
Тут я, как назло, запнулся. Ни туда ни сюда.
— Ладно уж, — сказал Составитель, — придётся помочь. Выясним, какую часть котлована выроет каждый экскаватор за один час. Для этого условимся, что объём всего котлована равен единице.
— И что из этого следует? — спросил Сева.
— А из этого следует, — догадался я, — что первый экскаватор за час выроет одну четверть котлована, второй — одну треть, третий — одну двенадцатую.
— Ну конечно! — обрадовался Составитель. — Какую же часть они выроют за час, если будут работать все вместе?
На этот раз ответил Сева:
— Вот какую:
1/4+1/3+1/12
— Молодец! А за икс часов?
— А за икс часов они выроют в икс раз больше, — сказала Таня. — Это и будет весь котлован, объём которого мы приняли за единицу.
Так у нас получилось уравнение:
x(1/4+1/3+1/12)=1
Ну а решить такое уравнение было уже совсем легко:
8/12x = 1
Значит, Икс равен двенадцати восьмым, или
х = 3/2
Выходит, что три экскаватора, работая вместе, выроют котлован за полтора часа.
Неловко об этом говорить, но мне было очень приятно, когда маска с Икса упала и он стал нас благодарить.
Карликан заторопился к своим экскаваторам, а Составитель тут же предложил решить ещё одну задачу, точно такую же, но… Что это за «но», ты сейчас поймёшь.
— Признаться, надоели мне такие уравнения, — сказал Составитель, — слишком часто приходится их составлять. Везде идут стройки, везде роют котлованы. Пора бы уж сразу найти один ответ на все подобные вопросы. Ведь мы как-никак живём в Аль-Джебре…
— И потому должны упрощать и обобщать, — докончил Сева.
— Уж конечно! Не хотите ли вместе со мной вывести такое единое решение?
Мы молча кивнули, и Составитель начал:
— Так как экскаваторы бывают разных мощностей, то пусть первый из них роет котлован за а часов, второй — за b часов, ну а третий, допустим, за с часов. Спрашивается, за сколько часов выроют они котлован, если будут работать вместе?
— По-моему, — сказал я, — решение должно быть таким же, как и в предыдущей задаче. Только та задача была в числах, а мы её изобразим буквами. Снова примем за Икс число часов, необходимое, чтобы закончить работу, а всю работу — за единицу.
— Так-так-так, — подбадривал Составитель.
Теперь рассуждала Таня:
— Очевидно, первый экскаватор совершит за час 1/a часть работы, Это, наверное, читается так: одну атую часть работы?
— Хорошо, хорошо.
— Тогда второй, — сказал Сева, — за час совершит одну бэтую: 1/b, а третий одну цэтую: 1/c часть работы. А все вместе они выроют за час сумму этих дробей:
1/a+1/b+1/с.
Теперь нетрудно составить уравнение, ведь за икс часов они выполняют работу в икс раз большую:
x(1/a+1/b+1/с).
И всё это должно быть равно единице:
x(1/a+1/b+1/с)=1
— Вот вы и составили уравнение, — похвалил Составитель.
— Теперь приведём подобные, — сказал Сева. Вспомнил, наверное, как он недавно оплошал.
— Нет, — возразил Составитель, — здесь я не вижу никаких подобных. Просто надо сложить три дроби, которые стоят в скобках. Для этого приведём их к общему знаменателю и введём дополнительные множители у каждой дроби.
— Это мы знаем, — вмешалась Таня и тут же написала:
или
