Эта вера подкреплялась решениями двух из трех знаменитых древнегреческих геометрических задач. Наиболее известна задача о трисекции угла: с помощью линейки без делений и циркуля нужно поделить заданный угол на три равных угла[45].
Менее известны две другие головоломки:
• Удвоение куба. Необходимо найти длину ребра куба, чей объем в два раза больше заданного. Если длина ребра первого куба – единица, это равносильно построению отрезка длиной 
• Квадратура круга. Необходимо построить квадрат, чья площадь равна площади заданного круга. Если радиус круга равен единице, его площадь равна π. Тогда сторона квадрата будет равна 
Понадобилось две тысячи лет, чтобы понять: эти задачи неразрешимы[46]. Ни 
ни 
не являются конструктивными числами[47]. Решая проблему трисекции угла, мы сталкиваемся с тем фактом, что некоторая величина (косинус 20°) не является конструктивным числом.
Существование неконструктивных чисел опровергает связь между арифметикой и геометрией, гревшую сердца древним грекам, которые решали задачи на построение с линейкой без делений и циркулем.
Если музыканты перед концертом не настроили инструменты, возникает акустический диссонанс: музыка становится неблагозвучной.
Когда на двух инструментах берут одинаковые ноты, акустическая частота звуковых волн оказывается одинаковой. Рассогласованность же действует слушателю на нервы. Впрочем, можно брать и разные ноты, и музыка все равно будет ласкать слух, если эти ноты гармонируют друг с другом. Но как достичь гармонии? Что именно нам приятно слышать?
Этот вопрос волновал еще древних греков. Они выяснили, что, если акустические частоты соотносятся как малые целые числа (например, 2 и 3), сочетание нот ласкает слух. Так был открыт первый музыкальный строй (по легенде, его создал Пифагор[48]). Подбирая частоты для нот, важно выполнить главное требование: частоты нот, находящихся на противоположных концах октавы, должны соотноситься примерно как 2:1. Ради гармоничных звуков древние греки подбирали ноты так, чтобы парное соотношение частот до и фа, а также до и соль выражалось малыми целыми числами. В пифагорейском варианте соотношение между частотами соседних нот было равно 9/8 для целого тона (например, между до и ре) и 256/243 для полутона (например, между ми и фа).
Вот весь пифагоров строй[49]:
Из этого соотношения можно посчитать соотношение, скажем, между частотами нот до и фа. Мы получим частоту фа, если умножим частоту до на
Акустические частоты, соотносящиеся как 4:3, прекрасно звучат вместе.
Мы можем визуализировать звуковые волны, возникающие, когда до и фа звучат вместе. Это будет выглядеть примерно так:
А частота ноты ля окажется немножко выше, звуковая волна будет выглядеть так:
Разница, заметная для глаза, заметна также и для слуха; вы видите диссонанс.
Недостаток пифагорова строя в том, что широко распространенное мажорное трезвучие до мажор – до-ми-соль – звучит как диссонанс; соотношение частот достаточно сложное.
Спустя много веков были найдены другие варианты. Например, так называемый чистый строй, или натуральный строй[50], выглядит так:
В этом варианте частоты до, ми и си прекрасным образом соотносятся как 4:5:6. Но полный тон от до до ре звучит иначе, чем другой полный тон от ре до ми.
И у пифагорова строя, и у натурального строя есть еще один серьезный изъян: если ансамбль исполняет произведение в тональности, скажем, до мажор, а затем музыканты должны переключиться на тональность фа, инструменты придется перенастраивать. Это довольно затруднительно для лютниста, невероятно сложно для клавикордиста и совершенно нереально для тех, кто играет на деревянных духовых.
Исправить изъян можно, если создать музыкальный строй, действующий одинаково хорошо во всех тональностях. Это накладывает два условия:
1. Частоты нот на противоположных концах октавы должны соотноситься как 2:1;
45
Задача о бисекции угла существенно проще. Нет ничего сложного в том, чтобы с помощью циркуля и линейки прочертить луч, разделяющий заданный угол на два равных между собой угла.
46
Пьер Ванцель строго доказал, что задачи об удвоении куба и трисекции угла неразрешимы, в 1837 году.
47
Неразрешимость задачи о квадратуре круга стала ясна в 1882 году, когда Фердинанд фон Линдеман доказал, что число π трансцендентно. –
48
Пифагор Самосский (VI–V вв. до н. э.) – древнегреческий философ, математик, мистик, основатель религиозного движения пифагорейцев. –
49
Число 9/8 над стрелкой означает, что частота ноты справа в 9/8 раза больше частоты ноты слева.