2. Если ноты отделены полутоном, соотношение их частот должно быть таким же, как у остальных полутонов октавы (например, соотношение частот до и ми-диез равно соотношению частот до-диез и ре). Всего в октаве двенадцать полутонов: до, до-диез, ре, ми, ми-диез, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, ля-диез и си.
Если соотношение частот любых двух соседних нот равно r (условие 2), а соотношение частот двенадцатой и первой ноты равно 2 (условие 1), то r12 = 2. Следовательно,
Если настроить музыкальные инструменты таким образом, чтобы соотношение частот соседних нот в октаве было равно 
не придется перенастраиваться при переходе в другую тональность. Этот музыкальный строй называют равномерно темперированным[51], и сегодня им пользуются все профессиональные музыканты.
К сожалению, число 
иррационально[52]. Иными словами, соотношение частот двенадцати нот в равномерно темперированном строе (за исключением начала и конца октавы) не может быть выражено через соотношение целых чисел. Соотношение частот до и соль в таком случае равно не 3:2, а примерно 1,4983 (число принято округлять до 1,5).
Как это звучит? Сейчас почти все музыкальные инструменты настраивают по равномерно темперированному строю, и они ласкают наш слух. Но что мы теряем?
Вот как выглядит звуковая волна для трезвучия до мажор. В первом варианте частоты нот соотносятся как 4:5:6, во втором подобраны в соответствии с равномерно темперированным строем. Первый вариант выглядит (и звучит!) гораздо гармоничнее.
Преимущество равномерно темперированного строя состоит в том, что в нем нет необходимости постоянно перенастраивать музыкальные инструменты. Но есть один инструмент, способный менять тональность мгновенно: человеческий голос.
Вокальные ансамбли без инструментального сопровождения (например, «парикмахерские» квартеты[53]) не нуждаются в равномерно темперированном строе и берут ноты, соотношение частот которых можно выразить целыми числами. И мы слышим чудесные хорошо резонирующие звуки.
Глава 5
i
В главе 4 мы поразмышляли над «точным» значением числа √2 и пришли к выводу, что его нельзя выразить в виде соотношения двух целых чисел и, следовательно, оно иррационально. Тем не менее мы можем найти его значение с невероятной точностью.
Число √2 не относится к рациональным числам, однако нас не мучает вопрос, существует ли такое число, что x² = 2. Несмотря ни на что, √2 имеет законную прописку где-то между 1,41 и 1,42. Это пример действительного числа[54]. Оно может быть выражено так:
± XXXX, XXXXXXXXXX…
Символом X помечены разные цифры. Число может быть положительным или отрицательным (знак + перед числом ставить не принято), количество цифр до запятой конечно, количество цифр после запятой бесконечно. Скажем, 1⅔ можно записать так[55]:
1,666666666666…
Такие числа, как 3/4, в десятичной системе счисления записываются с конечным числом цифр после запятой (0,75), но ничто не мешает прикрутить справа бесконечное количество нулей: 0,7500000000…
Таким образом, 
– реальное число, просто иррациональное. Точнее говоря, существует такое число, что x² = 2. Точно так же существует такое число, что x² = 3, а именно 
И так далее… Или нет?
Всякое ли уравнение x² = a имеет решение? Если a – положительное действительное число (или ноль), тогда решение равно 
и ответ можно записать в виде десятичного числа сколько угодно точно. Если мы изобразим график y = x² – a (для любого квадратного уравнения он представляет собой параболу), решением будут те точки, где кривая пересекает ось абсцисс, или ось x. Иными словами, это такие значения x, при которых x² = a. На первом рисунке вы можете видеть графики y = x² – 3 и y = x² – 7. Первая парабола пересекает ось абсцисс при 
вторая парабола – при 
Вопрос кардинально меняется, когда мы ищем такое число, что x² = –1. А существует ли оно в принципе? Если возвести в квадрат положительное число, ответом будет положительное число, скажем 5² = 5 × 5 = 25 > 0. Если возвести в квадрат отрицательное число, результат снова будет положительным числом: (–5)² = (–5) × (–5) = 25 > 0. Если возвести в квадрат ноль, получится ноль. Наше положение выглядит безнадежно.
51
Равномерно темперированный строй господствует в европейской музыке с XVIII века, однако его теоретическое обоснование встречается уже в работах XVI века, причем не только в Европе, но и в Китае. –
52
Доказательство похоже на доказательство того, что значение √2 иррационально. Попробуйте найти его самостоятельно.