Вероятность выигрыша после первого бросания равна
Вероятность проигрыша после первого бросания равна
Для дальнейших бросаний нам надо знать вероятность того, что выпадет «пойнт». Так как нам важны лишь очки, отвечающие «пойнт» или 7, то можно вычислять условные вероятности выбросить «пойнт» при условии, что при первом бросании появился «пойнт». Иногда этот метод называется методом «приведенного выборочного пространства», так как хотя в принципе возможны все варианты от 2 до 12 очков, мы рассматриваем лишь «пойнт» и 7.
Например, если выпало 4 очка, то существует 3 возможных способа их появления и 6 способов для появления 7 очков. Таким образом, условная вероятность выбросить «пойнт» равна 3/(3 + 6) = 3/9.
Аналогично условные вероятности других очков «пойнт» равны
Для определения безусловной вероятности выигрыша при данной сумме «пойнт» надо умножить вероятность получения «пойнт» при первом бросании на условную вероятность выигрыша. Суммируя эти величины, находим вероятность выигрыша для суммы «пойнт»:
Прибавляя к этому значению вероятность выигрыша при первом бросании 8/36 ≈ 0.22222, видим, что полная вероятность выигрыша игрока равна 0.49293. Его средний ущерб равен 0.50707 − 0.49293 = 0.01414 или 1.41 %. Автор считает, что это наиболее справедливая игра без стратегии, которая практикуется в игорных домах.
Некоторым читателем может показаться слишком искусственным подход, связанный с условными вероятностями. Мы дадим и другой метод, связанный с суммированием бесконечных рядов.
Пусть P обозначает вероятность получить «пойнт», а R — вероятность появления суммы очков, при которой игра продолжается (R = 1 − P − 1/6). Здесь 1/6, конечно, имеет смысл вероятности появления 7. Игрок выигрывает при r + 1 бросании, если игра продолжалась r шагов, и при r + 1 шаге появился «пойнт». Вероятность этого события равна RrP, r = 0, 1, 2, ... Суммируя по r, получаем
P + RP + R²P + ... = P(1 + R + R² + ...)
или
вероятность получить «пойнт» = P/(1 − R).
Например, если «пойнт» равен 4,
что согласуется с полученным ранее.
Сам автор решал сначала эту задачу с помощью суммирования бесконечного ряда и был обрадован, когда несколько дней спустя обнаружил указанный здесь более простой подход.
10. Обсуждение эксперимента по психологии азартных игроков
Трудно сказать, какой предварительный взнос вы сочтете подходящим для себя. Хотя математическое ожидание выигрыша в первой игре равно пяти долларам, вы можете не захотеть платить взнос, близкий к 5 долларам, за право игры. Потеря 3 или 4 долларов может весьма много значить для игроков. Вы можете, например, предложить взнос, в 75 центов.
Кажется естественным, однако, что взнос для участия во второй игре должен быть по крайней мере таким же, как и для их первой игры. Цвет всегда может быть выбран случайным бросанием монеты, что дает 50 % шансов правильного решения и математическое ожидание выигрыша, равное 5 долларам. Кроме того, если вы располагаете информацией о склонностях вашего друга, то она может быть использована для увеличения вероятности выигрыша.
Большинство людей склонно скорее к первой игре, так как условия второй представляются им менее определенными. Автор обязан этой задачей Г. Райфа; последний сообщил ему, что идея задачи принадлежит Д. Элсбергу.
11. Обсуждение задачи о молчаливом союзе
Автор не встречал еще ни одного человека, который загадал бы многозначное число, при этом, как правило, называют числа 1, 3 и 7. В большинстве случаев была выбрана единица, но встречались также 3 и 7.
12. Обсуждение задачи «Куда идешь?»
Когда этот вопрос был задан моей дочери, она живо ответила: «Ну конечно же, им надо встретиться в самом известном месте Нью-Йорка». — «Прекрасно, но где же именно?» — спросил автор. «Откуда я знаю? Ведь мне всего девять лет».
Что же приходит в голову? Крыша здания Эмпайр Стейт Билдинг[7], аэропорты, бюро справок на железнодорожных станциях, статуя Свободы[8], Таймс Сквер[9]. Статую Свободы следует исключить сразу же по выяснении того, как трудно до нее добраться. Аэропорты не подходят по причине их многочисленности и удаленности от города. Тот факт, что в городе два крупных вокзала, по-видимому, исключит и их. Остаются Эмпайр Стейт Билдинг и Таймс Сквер. Я бы выбрал Эмпайр Стейт Билдинг, потому что Тайме Сквер сейчас разросся до неопределенных размеров.
7
Эмпайр Стейт Билдинг — одно из самых высоких зданий (449
8
Статуя Свободы — маяк в виде бронзовой фигуры женщины с факелом в руке, расположенный на небольшом островке вблизи Манхэттена