Автору кажется, что если бы свидание было назначено в Сан-Франциско или в Париже, решить эту задачу было бы легче.
13. Решение дилеммы узника
Из всех задач, о которых пишут автору, настоящая доставила наибольшее количество писем.
Ошибка в рассуждении А состоит в том, что он не перечислил всех возможных событий должным образом. Выражаясь математически, узник неправильно построил пространство элементарных событий. Он считает, что опыт имеет три возможных исхода: освобождение пар AB, AC, BC с равными вероятностями. С точки зрения заключенного — это правильно построенное пространство элементарных событий для эксперимента, проводимого администрацией, которая освобождает двух узников из трех. Но эксперимент A включает еще один момент — ответ охранника. Возможные исходы для такого эксперимента и разумные вероятности для них будут:
1) A и B освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/3.
2) A и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/3.
3) B и C освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/6.
4) B и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/6.
Если на вопрос A охранник отвечает B, то апостериорная вероятность освобождения А равна вероятности исхода 1, деленной на сумму вероятностей исходов 1 и 3. Таким образом, вероятность освобождения A равна (1/3)/(1/3 + 1/6) = 2/3, так что математический расчет в конце концов отвечает здравому смыслу.
14. Решение задачи о выборе купонов
Из первой коробки мы достаем один купон. Далее, вероятность получить новый номер из второй коробки равна 4/5. Используя ответ задачи 4, видим, что приобретение нового номера потребует в среднем (4/5)−1 = 5/4 коробок. Третий номер потребует (3/5)−1 = 5/3, четвертый 5/2, пятый — 5 коробок.
Таким образом, среднее число коробок равно
Хотя в данном случае указанные дроби сложить, но когда в комплекте большое число купонов, удобно применить формулу Эйлера для частичных сумм гармонического ряда:
(Число C = 0.57721... называется постоянной Эйлера.) В случае комплекта из n купонов среднее число коробок приближенно равно
n·log n + 0.577n + ½.
Поскольку log 5 ≈ 1.6094, формула Эйлера при n = 5 дает 11.43, что весьма близко к 11.42. Членом 1/2n в формуле Эйлера часто пренебрегают.
15. Решение задачи о театре
Например, если ряд заполнен следующим образом
BBMMBBMBMBMBBMM
(здесь B обозначает юношу, а M — девушку), то имеется 9 пар BM и MB.
Нас интересует среднее число таких пар. Если первые два места в ряду заняты лицами разных полов, то у нас уже имеется искомая пара. Вероятность этого события равна
Более того, 8/15 есть и среднее число пар на первых двух местах, так как
Такое же рассуждение применимо к каждой паре смежных мест.
Для определения среднего числа пар молодых людей эту величину надо умножить на число смежных мест, равное 14, что дает 112/15.
Более общим образом, если есть b объектов одного рода и m другого, располагаемых случайным образом в ряд, то среднее число пар, составленных из различных объектов, равно
В нашем примере b = 8, m = 7, и ответ равен 112/15.
Здесь мы существенным образом использовали тот факт, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Мы нашли среднее число пар BM или MB для каждых двух смежных мест и просуммировали по всем таким двойкам.
16. Рещение задачи о распределении призовых мест
Ответ равен 4/7. Второй по мастерству игрок может занять второе место лишь в том случае, когда он находится в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком.
Если в турнире участвуют 2n игроков, то в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком, 2n − 1 начальных ступеней, а всего имеется 2n − 1 начальных ступеней (кроме занятой лучшим игроком). Таким образом, в турнире с 2n игроками второй по мастерству может с вероятностью 2n − 1/(2n − 1) занять второе место.