Так как при бросании 6 костей в среднем появляется одна шестерка, при бросании 12 костей это среднее равно двум и при бросании 18 костей — трем, то часто считают, что вероятности указанных событий равны. Иногда полагают, что эта вероятность равна 1/2. Здесь довольно ясно видна разница между математическими ожиданиями и вероятностями. Если подбрасывается большое число костей, то вероятность того, что число шестерок не меньше среднего числа их появлений, действительно совсем немного превосходит 1/2. Таким образом, это эвристическое соображение оправдывается при большом числе подбрасываний, но при относительно малом их числе ситуация совсем другая. Для значительного числа костей распределение появления шестерок приближенно симметрично относительно среднего, и вероятность появления этого среднего мала. При небольшом же числе костей распределение асимметрично, и кроме того, вероятность появления числа шестерок, в точности равного его математическому ожиданию, достаточно велика.
Начнем с вычисления вероятности появления ровно одной шестерки при 6 бросаниях. Вероятность появления одной шестерки и пяти других очков в некотором определенном порядке равна 
. Искомая вероятность получается умножением этого количества на число возможных способов упорядочения одной шестерки и пяти других очков. В задаче 18 мы нашли, что это число равно 
. Таким образом, вероятность появления ровно одной шестерки равна
Аналогично, вероятность появления ровно x шестерок при бросании шести костей равна
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Вообще вероятность появления x шестерок при n бросаниях равна
x = 0, 1, 2, 3, ..., n.
Эта формула задает вероятности, отвечающие так называемому биномиальному закону.
Вероятность появления хотя бы одной шестерки при шести бросаниях равна
При бросании 6n костей вероятность появления не менее n шестерок равняется
Ньютону пришлось самому вычислять эти вероятности. Мы же можем прибегнуть к помощи таблиц (см., например, Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас, Вероятность, стр. 325 и 398). Наша табличка дает вероятности получения числа шестерок, не меньшего, чем математическое ожидание числа их появления, в 6n бросаниях.
| 6n | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 96 | 600 | 900 |
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 16 | 100 | 150 |
| P | 0.665 | 0.619 | 0.597 | 0.584 | 0.576 | 0.542 | 0.517 | 0.514 |
Итак, Пепайсу следовало предпочитать пари с шестью бросаниями пари с бо́льшим числом бросаний.
Биномиальное распределение рассматривается в уже цитированной книге «Вероятность», гл. VI.
20. Решение задачи о трехсторонней дуэли
У дуэлянта A мало оснований для оптимизма по поводу настоящей дуэли. Если он стреляет первым, то при попадании в C наверняка B попадет в него, поэтому A не должен стрелять в C. Если же A выстрелит в B и промахнется, то B, наверное, выведет из строя более опасного C первым и A сможет стрелять в B с вероятностью попадания 0.3. Если же A промахнется, то его песенка спета. С другой стороны, предположим, что A попадет в B. Тогда C и A будут перестреливаться до первого попадания. Шансы выигрыша A равны
(0.5)·(0.3) + (0.5)²·(0.7)·(0.3) + (0.5)³·(0.7)²·(0.3) + ...
Каждое слагаемое отвечает последовательности промахов C и A, заканчивающихся успехом A. Суммируя геометрический ряд, получаем
Таким образом, попасть в B и затем покончить с C — стратегия, дающая для A меньшую вероятность выигрыша, чем пропуск первого выстрела. Поэтому A должен стрелять в воздух, а затем стараться попасть в B.
Обсуждая эту задачу с Т. Лерером, я спросил его, благородно ли это решение с точки зрения кодекса о дуэлях. Лерер возразил, что подобный кодекс для дуэлей с тремя участниками не разработан, так что мы с полным основанием можем простить A преднамеренный промах.