Бросаются в глаза следующие два обстоятельства. Во-первых, выписанные в таблице числа с ростом n возрастают. Во-вторых, они стремятся к некоторому значению, которое известно математикам и равно e−1 или 1/e, где e = 2,71828... — основание натуральных логарифмов.
Воспользовавшись формулой бинома Ньютона для 
, получим следующее выражение:
или
(1)
Если мы исследуем поведение каждого слагаемого, скажем, четвертого, то заметим, что при росте n оно стремится к −1/3!, так как
(2)
При n, стремящемся к бесконечности, все слагаемые в правой части (2), кроме 1, стремятся к нулю. Аналогично, для r-го слагаемого разложения (1) множитель, зависящий от n, стремится к единице, а все слагаемое с точностью до знака, к 
Таким образом, с ростом r выражение стремится к сумме ряда
который является одним из способов вычисления e−1.
Если бы в каждом ящике было две фальшивые монеты, то искомая вероятность, равная 
, сходилась бы при больших n к e−2 и, точно так же, 
стремится к e−m. Вообще 
стремится к em при любом (целом или нет) значении m. Эти факты будут использованы в дальнейшем. Более строгое их обоснование можно найти в любом учебнике по дифференциальному исчислению.
28. Решение задачи о жадном фальшивомонетчике
Каждая из проверяемых монет изымается из нового ящика и с вероятностью m/n фальшива. Так как монеты извлекаются независимым образом, то искомая вероятность отвечает биномиальному распределению.
Исследуем поведение этой вероятности при возрастании n и фиксированных r и m.
Для этого запишем ее в виде
С ростом n 1/r! и mr не меняются, а
n·(n − 1)· ... ·(n − r + 1)/nr стремится к 1, как указано в задаче 27, стремится к e−m и 
стремится к 1 (так как m и r фиксированы). Поэтому при больших n
Сумма этих вероятностей равна:
Ряд, записанный в скобках, является разложением em.
Распределение, задаваемое вероятностями
называется законом Пуассона и служит хорошей математической моделью для многих физических процессов.
29. Решение задачи о заплесневевшем желатине
Разобьем поверхность пластинки на n малых равных площадок. Для каждой площадки вероятность колонии равна p, а их среднее число есть np = 3. Нас интересуют лишь маленькие площадки. Когда n растет, p становится малым, так как площадь участков стремится к нулю. Вместо того, чтобы считать среднее число колоний равным 3, будем рассматривать общее среднее m = np. Может показаться, что на некоторых площадках встречаются две или больше колоний, но эти сомнения можно оставить, потому что площадки столь малы, что едва умещают одну колонию. Тогда вероятность ровно r колоний на n маленьких площадках равна
где p = m/n. Заменим p на m/n в этой формуле. Полученное выражение уже знакомо нам по задаче 28. Пусть n → ∞. Тогда мы снова приходим к распределению Пуассона
При m = 3 и r = 3 получаем значение 0.224.
То, что m действительно является средним этого распределения, проверяется непосредственно:
Чтобы получить численные результаты для больших значений m, где r = m, можно использовать таблицы[10] или формулу Стирлинга. Последняя дает
| m | P(m) | 0,4√m |
| 4 | 0.1954 | 0.200 |
| 9 | 0.1318 | 0.133 |
| 16 | 0.0992 | 0.100 |
10
См., иапример, Л. Н. Большев, Н. В. Смирнов, Таблицы математической статистики «Наука», 1965, стр. 360