Другой удивительный факт состоит в том, что при p = 1/2 среднее число шагов, требуемое для поглощения, бесконечно. Случай p = 1/2 является странным и глубоким.
Вас может заинтересовать применение указанного здесь метода к частице, выходящей из точки x = m, а не из точки x = 1. Обобщение приведенного выше результата, показывает, что вероятность поглощения с абсциссы x = m есть [(1 − p)/p]m или 1, в зависимости от того, будет ли p больше или меньше 1/2. Если p > 1/2 и m велико, то весьма вероятно, что частица избежит поглощения, и поэтому вероятность поглощения мала, а не равна 1.
Если частица выходит из начала координат 0 и ей разрешается делать шаги в обоих направлениях с вероятностью p = 1/2, то в другой классической задаче о блуждании ставится вопрос о том, вернется ли частица когда-либо в начало координат. Мы уже видели, что так действительно будет, ибо она заведомо вернется из положений x = 1 и x = −1. Дальнейшие сведения об этой задаче будут сообщены ниже.
36. Решение задачи о разорении игрока
Наша задача — специальный случай общей задачи о случайном блуждании с двумя поглощающими барьерами. Исторически эта проблема была поставлена как игровая, называемая задачей о разорении игрока, и многие знаменитые математики занимались вопросами, связанными с ней. Сформулируем задачу в общем виде.
Игрок M имеет m денежных единиц, игрок N — n единиц. После каждой игры один игрок выигрывает, другой проигрывает единицу. В каждой партии вероятность выигрыша игрока M равна p, а выигрыша N равна q = 1 − p. Игра продолжается до разорения одного из игроков. На рис. 36.1 указана сумма денег, которую игрок M имеет в настоящий момент. Он начинает с положения x = m. Когда x = 0, он разорен, при x = m + n банкротом является игрок N.
Рис. 36.1. Схематическое изображение задачи о разорении игрока
При такой постановке, поскольку p > 1/2, мы можем использовать результат задачи 35. Мы уже знаем, что если игрок M играет против банка с неограниченными ресурсами, то становится банкротом с вероятностью (q/p)m. По пути к банкротству он либо получает сумму m + n (n теперь конечно) либо никогда не будет иметь ее на руках. Пусть вероятность того, что он проиграет игроку N, равна Q (это событие равносильно выигрышу N у банка с неограниченным капиталом без достижения игроком M суммы m + n). Тогда
(p/q)m = Q + (1 − Q)·(q/p)m+n, (1)
поскольку Q есть доля последовательностей, для которых поглощение произойдет до достижения точки m + n, а 1 − Q — доля тех последовательностей, которые достигают положения m + n; (q/p)m+n есть доля последовательностей, поглощаемых в нуле, если игра продолжается неограниченно долго. Тогда P = 1 − Q есть вероятность того, что игрок M выиграет. Из (1) находим
P = [1 − (q/p)m] / [1 − (q/p)m+n]. (2)
В нашем случае p = 2/3, q = 1/3, m = 1, n = 2 и P = 4/7, и, значит, лучше быть вдвое более искусным в игре, чем вдвое более богатым.
Если q = p = 1/2, то P в уравнении (2) принимает неопределенную форму 0/0. Применение правила Лопиталя дает