X < Y − X, или 2X < Y
и
X < 1 − Y, или X + Y < 1.
На рис. 20 изображена область, отвечающая этим неравенствам. Видно, что X изменяется от 0 до 1/3. Из планиметрии известно, что центр тяжести треугольника отстоит от основания на расстоянии, равном 1/3 проведенной к нему высоты. Этим основанием в нашем случае является отрезок оси Y. Так как X-я координата вершины равна 1/3, то среднее величины X, или короткого отрезка, равно 1/3·1/3 = 1/9.
Рис. 20. Треугольник, обведенный жирной линией, соответствует случаю, когда левый кусок наименьший.
Рис. 21. Область, где X отвечает наибольший кусок.
Рассмотрим теперь случай, когда X — наибольший кусок. Тогда
X > Y − X, или 2X > Y
и
X > 1 − Y, или X + Y > 1.
На рис. 21 изображен соответствующий четырехугольник. Для того чтобы найти координату X его центра тяжести, разобьем его на два треугольника по пунктирной линии. Затем вычислим среднее этих координат для каждого треугольника и сложим их с весами, равными площадям треугольников.
Среднее значение X для правого треугольника равно 1/2 + 1/3·1/2, для левого треугольника 1/2 − 1/3·1/6. Площади треугольников пропорциональны 1/2 и 1/6 так как у них одно и то же основание. Таким образом, среднее для величины X есть
Так как среднее значение длины самого маленького куска равно 1/9 или 2/18, а самого длинного 11/18, то для среднего куска оно оказывается равным 1 − 11/18 − 2/18 = 5/18. Этот факт нетрудно получить и непосредственным подсчетом, рассмотрев область, соответствующую неравенствам 1 − Y > X > Y − X.
Итак, средние длины короткого, среднего и длинного кусков относятся как 2 : 5 : 11.
Если ломать стержень на две части, то средние дайны короткого и длинного кусков относятся как
1/4 : 3/4 или 1/2 · 1/2 : 1/2 · (1/2 + 1).
Для трех кусков мы получили пропорцию
1/9 : 5/18 : 11/18,
что можно записать в виде
1/3 · 1/3 : 1/3 · (1/3 + 1/2) : 1/3 · (1/3 + 1/2 + 1).
В общем случае разламывания стержня на n кусков средние длины равны:
наименьший кусок 
второй по длине кусок 
третий по длине кусок 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
наибольший кусок 
Автор, к сожалению, не располагает простым доказательством этого факта.
44. Решение задачи о выигрыше в небезобидную игру
Не стоит расстраиваться из-за того, что игра несправедлива, ведь в конце концов только вы можете получить приз. Пусть ваш партнер для краткости обозначен через B, вы — через A. Пусть также общее число партий равно N = 2n. Вероятность выигрыша в каждой отдельной игре равна p, а проигрыша q = 1 − p.
Первая мысль, приходящая в голову многим, состоит в том, что поскольку игра не безобидна, то с возрастанием N средняя разность (число очков A минус число очков B) становится все «больше отрицательной». Отсюда делается вывод о том, что A должен играть как можно меньше игр, т. е. две игры.
Если бы правилами допускалось нечетное число игр, то это соображение действительно привело бы к правильному результату, и A должен был бы играть всего одну игру. Для четного же числа игр накладываются два эффекта: (1) смещение в пользу В и (2) изменение среднего члена биномиального распределения (вероятности ничьей) с ростом числа сыгранных партий.
Рассмотрим на минуту справедливую игру (p = 1/2). Тогда чем больше N, тем больше вероятность победы A, так как при возрастании 2n вероятность ничьей стремится к нулю, и вероятность выигрыша A стремится к 1/2. Для N = 2, 4, 6 эти вероятности равны соответственно 1/4, 5/16, 22/64. Из соображений непрерывности следует, что при p незначительно меньшем, чем 1/2, A следует выбирать большое, но конечное число игр. Однако, если p мало, то выбор N = 2 является оптимальным для A. Оказывается, что это так в случае, когда p < 1/3.