Вероятность выигрыша в игре, состоящей из 2n партий, равна сумме вероятностей получения n + 1, n + 2, ..., 2n очков, т. е.
Если играются 2n + 2 туров, то вероятность выигрыша равна
Игра, составленная из 2n + 2 партий, может быть рассмотрена как игра из 2n туров с добавлением еще двух туров. Если только игрок A не набрал n или n + 1 очко в игре из 2n туров, то он остается выигравшим или проигравшим в игре из 2n + 2 партий в зависимости от того, выиграл он или проиграл в игре из 2n партий.
Итак, вычислим (1) вероятность получения n + 1 очка в первых 2n партиях и проигрыша в следующих двух, равную
и (2) вероятность получения n очков в первых 2n партиях и выигрыша в следующих двух, которая равняется
Если N = 2n — оптимальный выбор для A, то PN − 2 ≤ PN, PN ≥ PN + 2. Из предыдущих рассуждений следует, что эти неравенства эквивалентны следующим:
(1)
После незначительных преобразований (при которых исключается тривиальный случай p = 0) неравенства (1) сводятся к следующим:
(n − 1)·q ≤ np, nq ≥ (n + 1)·p. (2)
Отсюда выводим
Итак, если только 1/(1 − 2p) не является нечетным числом, то значение N определяется единственным образом, как ближайшее четное число, меньшее 1/(1 − 2p). Если же 1/(1 − 2p) нечетное число, то для обоих четных чисел 1/(1 − 2p) − 1 и 1/(1 − 2p) + 1 оптимальные вероятности одни и те же, т. е. если
то
P2n = P2n + 2.
Для p = 0.45 в качестве оптимального числа партий получаем 1/(1 − 0.9) = 10.
45. Решение задачи о среднем числе совпадений
Рассмотрим сначала задачу с колодой карт. Если в колоде 52 карты, то каждая карта с вероятностью 1/52 занимает место, уже занятое такой же картой. Так как общее число возможных мест для каждой карты равно 52, то среднее число совпадений равно 52·1/52 = 1. Таким образом, в среднем происходит только одно совпадение. Если бы колода состояла из n различных карт, то среднее число совпадений прежнему равнялось бы 1, так как n·(1/n) = 1. Этот вывод основывается на теореме о том, что среднее суммы есть сумма средних.
Более формально, с каждой парой карт может быть связана случайная величина Xi, которая равна 1 в случае, если карты одинаковы, и 0, если карты различны. Имеем
Наконец, общее число совпадений равно ∑Xi и в силу уже упоминавшейся теоремы
46. Решение задачи о вероятностях совпадений
Эта задача родственна задаче 28, в которой мы впервые встретились с законом Пуассона. Однако в задаче о фальшивомонетчике в силу независимости испытаний появление фальшивой монеты было равновероятно на каждом шагу, в настоящей же задаче совпадения для каждой пары не являются независимыми. Например, если n − 1 пар совпали, то необходимо совпадет и n-я пара, так что эти события действительно зависимы. Тем не менее при больших значениях n степень зависимости невелика, так что, казалось бы, вероятность r совпадений в этой задаче должна быть близка к вероятности обнаружения фальшивых монет, задаваемой распределением Пуассона. В конце мы сравним решение такой задачи с ответом, получаемым из закона Пуассона со средним 1.
При решении таких задач оказывается полезным рассмотрение частных случаев, отвечающих небольшим значениям n. При n = 1 совпадение неизбежно. При n = 2 вероятность отсутствия совпадения равна 1/2, вероятность двух совпадений также равняется 1/2. При n = 3 занумеруем карты цифрами 1, 2 и 3 и запишем в таблицу 6 возможных перестановок для верхней колоды при фиксированном порядке (1, 2 ,3) нижней.
| Нижняя колода | 1 | 2 | 3 | Число совпадений |
| Перестановки верхней колоды | 1 | 2 | 3 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 1 | |
| 2 | 1 | 3 | 1 | |
| 2 | 3 | 1 | 0 | |
| 3 | 1 | 2 | 0 | |
| 3 | 2 | 1 | 1 |