Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Отсюда получаем

Распределение числа совпадений, n = 3

Число совпадений	0	1	2	3
Вероятность	2/6	3/6	0/6	1/6

Приведем также соответствующую таблицу для n = 4. Легко заметить, что вероятность того, что произойдет n совпадений, равна 1/n!, поскольку только одной из n! перестановок отвечает n совпадений.

Число совпадений	0	1	2	3	4
n = 1, вероятность	0	1
n = 2, вероятность	1/2	0	1/2
n = 3, вероятность	2/6	3/6	0	1/6
n = 4, вероятность	9/24	8/24	6/24	0	1/24

Отметим, что математическое ожидание каждого распределения равно 1, как указано в предыдущей задаче.

Пусть P(r/n) обозначает вероятность ровно r совпадений при распределении n объектов. Эти r совпадений могут быть получены за счет совпадения r фиксированных объектов и несовпадения остальных. Так, например, вероятность того, что совпадают именно r первых объектов, равна

Число различных выборов r объектов из n равно так что

При r = n, как мы знаем, P(n/n) = 1/n!, и мы можем положить P(0/0) = 1.

Проверим справедливость соотношения (1) при n = 4, г = 2. Согласно (1)

а из нашей таблицы видно, что

P(2/4) = 6/24,

P(0/2) = 1/2

и 6/24 = 1/4, что подтверждает (1) в этом частном случае.

Мы знаем также, что сумма вероятностей по всем возможным числам совпадений при заданном значении n равна 1, т. е.

P(0/n) + P(1/n) + ... + P(n − 1/n) + P(n/n) = 1.

Используя (1), запишем это соотношение как

Так как P(n/n) = 1/n!, то отсюда можно последовательно находить значения P(0/n).

Итак, мы можем найти в принципе значение P(0/n) при любом n, но не располагаем общей формулой для вычисления P(0/n). Как и в некоторых других задачах, здесь помогает вычисление последовательных разностей. Подсчитаем P(0/n) − P(0/n − 1) для различных значений n. Имеем

P(0/1) − P(0/0) = 0 − 1 = −1 = −1/1!,

P(0/2) − P(0/1) = 1/2 − 0 = 1/2 = 1/2!,

P(0/3) − P(0/2) = 2/6 − 1/2 = −1/6 = −1/3!,

P(0/4) − P(0/3) = 9/24 − 2/6 = 1/24 = 1/4!.

Эти выкладки наводят на мысль о том, что искомые разности имеют вид (-l)^r/r!, т. е.

Суммируя эти разности, получаем

Записывая P(0/0) в виде 1/0!, получаем

          (3)

Осталось проверить теперь справедливость нашей догадки. Нам надо вычислить

          (4)

Не следует терять хладнокровия. при виде этого зловещего выражения. Ведь сумма в (4) образована слагаемыми вида

где индекс j отвечает множителю, стоящему перед знаком суммы, а индекс i соответствует отдельным членам этой суммы. Переставим местами слагаемые так, чтобы сумма i + j была постоянной. Так, для i + j = 3 получим

Умножая на 3!, получаем более знакомое выражение

которое с помощью биномиальных коэффициентов может быть записано в виде