Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Итак, оценкой числа π в этом случае является 4∙5.2/(62/10) ≈ 3.35 вместо 3.14. При другом опыте, состоящем также из 10 подбрасываний, было получено 67 пересечений, что дает оценку 3.10.

56. Обсуждение задачи о двух урнах

Е. Молина предложил эту задачу, чтобы дать формулировку знаменитой проблемы Ферма на вероятностном языке.

Пусть z обозначает число белых шаров в первой урне, x — число белых шаров и y — число черных шаров во второй урне. Тогда задача состоит в том, чтобы найти целые числа n, x, y и z такие, что

или

zⁿ = xⁿ + yⁿ.

Хотя для многих значений n известно, что это уравнение не имеет корней, но не установлено, так ли это при всех n ≥ 3. Доказано, однако, что целочисленных решений нет при n < 2000.

57. Обсуждение задачи о простых делителях

Из таблиц или из непосредственного расчета нетрудно выписать распределения числа простых делителей для небольших значений N.

В таблице 1 приведены результаты для N = 100 и N = 1000 вместе со средними x̅ и дисперсиями s².

Таблица 1. Распределение числа простых делителей с учетом их кратностей для N = 100 и N = 1000 вместе со средними x̅ и дисперсиями s² (x = число простых делителей)

N = 100					N = 1000
x	f	fx	fx²		x	f
1	26	26	26		1	169
2	34	68	136		2	299
3	22	66	198		3	247
4	12	48	192		4	149
5	4	20	100		5	76
6	2	12	72		6	37
	100	240	724		7	14
x̅ = 2.40, s² = ∑f∙(x − x̅)2/N = ∑f∙x²/N − x̅² = 1.48.					8	7
					9	2
						1000
					x̅ = 2.88, s² = 2.22

Из этой таблицы, например, видно, что среди первых 100 натуральных чисел ровно 26 простых, у 34 чисел два простых делителя и только у двух шесть простых делителей.

Распределение числа делителей при N = 100 напоминает выборку из закона Пуассона. Для пуассоновских распределений среднее равно дисперсии. Из таблицы видно, что для N = 100 среднее несколько больше дисперсии. Если рассмотреть величину x − 1 вместо x, то новое среднее будет равно 1.40, а дисперсия, равная 1.48, не изменится. Полезно сравнить полученные результаты с табличными вероятностями для закона Пуассона. (Сумма элементов последней строки первой половины табл. 2 не равна 100 из-за округления значений.)

Таблица 2. Частоты простых делителей x и соответствующие величины для распределения Пуассона со средним m

N = 100
x − 1	0	1	2	3	4	≤ 5
Наблюденные частоты	26	34	22	12	4	2
Пуассоновские частоты для m = 1.4	24.7	34.5	24.2	11.3	3.9

N = 1000
x − 1	0	1	2	3	4	5	6	7	≤ 8
Наблюденные частоты	169	299	247	149	76	37	14	7	2
Пуассоновские частоты для m = 1.9	150	284	270	171	81	31	10	3	1
Пуассоновские частоты для m = 1.8	165	298	268	161	72	26	8	2	1

Видно, что при N = 100 совпадение лучше, нежели при N = 1000. Для N = 1000 более точная аппроксимация при небольших значениях x − 1 может быть получена за счет выбора меньшего математического ожидания пуассоновского распределения.