Таблица 2 подтверждает предположение о пуассоновости распределения числа простых делителей, однако картина слишком сложна, чтобы можно было угадать вид параметра этого закона для больших N.
Мы знаем, что вероятность отсутствия простых делителей, т. е. того, что само число просто, равна приближенно 1/ln(N). Для закона Пуассона вероятность появления 0 равна e−m, где m — математическое ожидание этого распределения (см. задачу 29). Отсюда выводим:
и
−m = −ln(ln(N)),
или
m = ln(ln(N)).
Любопытно сравнить эту формулу с полученными ранее результатами.
Имеем
ln(ln(100)) = 1.53,
что надо сравнить со средним 1.4 при N = 100. Для N = 1000 среднее равнялось 1.88, а
ln(ln(1000)) = 1.93.
Из этого сравнения кажется весьма правдоподобным, что распределение числа простых делителей, уменьшенного на 1, приближенно подчиняется закону Пуассона со средним m = ln(ln(N)).
Для доказательства этого факта требуются тонкие и глубокие современные математические методы.
В табл. 3 сопоставлены значения ln(ln(N)) и числа простых делителей для некоторых N, вычисленные на ЭЦВМ.
| N | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
| x − 1 | 1.40 | 1.88 | 2.20 | 2.44 | 2.63 |
| ln(ln(N)) | 1.53 | 1.93 | 2.22 | 2.44 | 2.63 |
| s² | 1.48 | 2.22 | 2.70 | 3.00 | 3.23 |
Приведенная таблица, возможно, несколько вводит в заблуждение. Не исключено, что с ростом N наблюденные значения будут отклоняться от ln(ln(N)), так при N = 106 среднее равно 2.627, а согласно формуле 2.626. С ростом N разность между x и s² возрастает, но все с меньшей скоростью.