Это число близко к ½, но в условии задачи фигурирует ровно ½. Подойдем теперь к задаче алгебраически.
Пусть в ящике r красных и b черных носков. Вероятность того, что первый носок — красный, равна r/(r + b) и при осуществлении этого события условная вероятность того, что второй вынутый носок также красный, есть (r − 1)/(r + b − 1). Согласно условиям задачи вероятность того, что оба носка — красные, равняется ½, или
Можно начать со значения b = 1 и искать нужное значение r, затем перейти к случаю b = 2 и рассмотреть различные значения r и т. д. Это довольно быстро приводит к решению. Но можно подойти к задаче и на более солидном математическом уровне.
Заметим, что
при b > 0.
Отсюда следует неравенство
Извлекая квадратные корни, для r > 1 получаем
Из первого неравенства имеем
или
Из второго неравенства находим
так что
Для b = 1 получаем
2.414 < r < 3.414,
так что можно взять r = 3. При r = 3, b = 1 имеем
Таким образом, минимальное число носков есть 4.
Рассмотрим теперь четные значения b.
| b | r между | Подходящее r | P(2 красных носка) |
| 2 | 4,9; 5,8 | 5 | (5·4)/(7·6) ≠ 1/2 |
| 4 | 9,7; 10,7 | 10 | (10·9)/(14·13) ≠ 1/2 |
| 6 | 14,5; 15,5 | 15 | (15·14)/(21·20) = 1/2 |
Таким образом, минимальное число носков в ящике есть 21 при условии, что b четно. Если интересоваться всеми значениями r и b такими, что вероятность извлечения двух красных носков равна ½, то следует использовать методы теории чисел. Этот вопрос приводит к знаменитому уравнению Пелла[4]. Возьмите, например, r = 85, b = 35.
2. Решение задачи о последовательных выигрышах
Поскольку чемпион играет лучше отца, сыну следует играть с ним поменьше партий. С другой стороны, вторая партия — основная, так как сын не может выиграть дважды подряд, не выиграв вторую партию. Пусть C означает чемпиона, F — отца, W и L — выигрыш и проигрыш сына. Пусть, далее, f есть вероятность того, что сын выиграет у отца, а c — вероятность того, что он выиграет у чемпиона. Считается, что выигрыши сына независимы. В следующей ниже таблице приводятся возможные результаты и их вероятности.
| Схема FCF | Схема CFC | ||||||
| F | C | F | Вероятности | C | F | C | Вероятности |
| W | W | W | fcf | W | W | W | cfc |
| W | W | L | fc(1 − f) | W | W | L | cf(1 − c) |
| L | W | W | (1 − f)cf | L | W | W | (1 − c)cf |
| Общая вероятность выигрыша | fc(2 − f) | Общая вероятность выигрыша | fc(2 − c) | ||||
Так как отец играет хуже чемпиона, f > c и (2 − f) < (2 − c), так что сыну нужно выбрать вариант CFC. Например, если f = 0.8, c = 0.4, то вероятность получить приз при схеме FCF равна 0.384, а при схеме CFC — 0.512. Таким образом, бо́льшая вероятность выигрыша второй партии перевешивает невыгоды игры два раза с чемпионом.
Многие предполагают, что чем больше математическое ожидание числа успехов, тем больше вероятность выиграть приз, и часто такой подход бывает правильным. Но в данной задаче есть условия, нарушающие такие рассуждения по аналогии.