451. В следующем решении каждый узник скован с каждым из остальных один и только один раз.
Если читателю хочется найти трудную головоломку, над решением которой он мог бы биться в течение целой зимы, то пусть он попытается разбить аналогичным образом на тройки 21 узника в каждый из 15 дней так, чтобы ни одна пара не оказалась скованной дважды.
В случае, если он придет к выводу, что этого сделать нельзя, мы добавим, что у нас есть одно решение. Но это трудный орешек.
452. При данных условиях существует 144 различных способа.
453. Миссис Финч получила 4 по 17 и 2 по 16, а всего 100 очков; Реджи Уотсон выбил 2 по 23 и 4 по 16, а всего 110; мисс Дора Талбот получила один раз 40 и 5 по 16 очков, а всего 120 очков. Она могла выбить свои 120 очков различными способами, если бы в условии не было сказано, что чья-то стрела поразила «яблочко», а это могла быть только ее стрела.
454. Общее число очков равно 213, так что каждый спортсмен выбил по 71 очку, а это можно сделать следующим образом: первый выбил 50, 10, 5, 3, 2 и 1, второй — 25, 20, 20, 3, 2 и 1 и третий — 25, 20, 10, 10, 5 и 1 очко.
455. Подавляющее большинство людей, пытавшихся решить головоломку «Сакраменто — край богатый», когда она впервые появилась в лондонской газете Daily News, смогли собрать только 45 долларов.
Правильный ответ равен 47 долларам в 10 мешках, расположенных на внешних кругах следующим образом: 4, 5, 6 в первом ряду, 5 во втором, 4 в третьем, 3 в четвертом, 5 в пятом и 5, 6, 4 в нижнем ряду. Если вы возьмете 5 мешков по 6 долларов, то всего сможете собрать 9 мешков с общей суммой 46 долларов.
456. Дети могут сесть 5040 различными способами, из них в 720 случаях на обоих концах окажутся девочки. Следовательно, искомая вероятность равна 
, или 
. Это, разумеется, можно выразить по-другому, сказав, что есть 1 шанс против 6 за то, что на концах окажутся девочки.
457. Перенумеруем клеточки, как показано на рисунке. Случай A: мистер Нолик (первый игрок) может начать игру тремя путями: с центра 5, либо с любого угла — 1, 3, 7 или 9, либо с любой стороны — 2, 4, 6, 8. Разберем эти начала по очереди. Если мистер Нолик начнет с центра, то у мистера Крестика есть выбор пойти в угол или на сторону. Если он пойдет на сторону, например в клеточку 2 (случай A), то Нолик пойдет последовательно на 1 и 4 (или на 1 и 7) и выиграет. Поэтому Крестик должен сделать ход в угол, как в случае B, при этом Нолик сможет добиться всего лишь ничьей. Если Нолик сделает первый ход в угол, скажем в 1, то Крестик может ответить ему пятью способами — случаи C, D, E, F и G (поскольку 4 есть то же самое, что и 2; 7 — то же, что и 3; 8 — то же, что и 6). Если он выберет случай C, то Нолик выигрывает, сделав ход на 5 и 4; если D, то Нолик выигрывает на 7 и 3; если E, то Нолик выигрывает на 9 и 7; если F, то Нолик выигрывает на 5 и 3. Поэтому Крестик вынужден пойти в центр, как в случае G; при этом игра закончится вничью. Если Нолик начнет со стороны, скажем с клеточки 2, как в случаях Н, J, К, L и М, а Крестик сыграет, как в случае Н, то Нолик выиграет, сделав ходы на 5 и 1; а если Крестик выберет случай J, то Нолик выиграет на 1 и 5. Следовательно, Крестик, чтобы добиться ничьей, должен пойти, как в случаях K, L или M.
Я показал, таким образом, как Нолик может добиться победы в семи случаях, когда Крестик делает плохой ход, но здесь слишком мало места для того, чтобы доказать, что и в случаях В, G, К, L и M получается ничья. Однако читатель сам легко сможет разобрать эти случаи и убедиться, что ни один из игроков не сумеет выиграть, если только его противник не допустит промаха. Разумеется, каждый из игроков сможет при желании и проиграть. Например, если в случае L Нолик сделает глупый второй ход на 3, то Крестик сумеет выиграть, сходив на 7 и 9. Или если Нолик сыграет на 8, то Крестик выигрывает, сходив на 5 и 7.