[Относительно математической теории такого тасования см. W. W. Rouse Ball «Mathematical Recreations and Essays» (N. Y., 1960, pp. 310-311). Это тасование иногда называют «тасованием Монжа», по имени знаменитого французского математика XVIII в. Гаспара Монжа, который впервые его придумал. — М. Г.]
498. Для того чтобы освободить одно звено и присоединить его снова, требуется 3 цента. Если бы мы освободили по одному звену на конце каждого из 13 кусков, то это обошлось бы нам в 39 центов, так что выгодней было бы купить новую цепочку. Если бы один из кусков содержал 12 звеньев и мы освободили бы все эти звенья, чтобы с их помощью соединить оставшиеся 12 кусков, то это обошлось бы в 36 центов. Если бы у нас было 2 куска, содержащих вместе 11 звеньев, то мы могли бы освободить эти звенья и с их помощью соединить оставшиеся 11 кусков, что обошлась бы нам в 33 цента.
Самое лучшее, что мы можем сделать, это освободить все 10 звеньев в трех кусках и с их помощью соединить оставшиеся 10 кусков, затратив 30 центов. В качестве таких кусков можно взять 1 кусок из 4 звеньев и 2 куска по 3 звена. Так, если мы включим в число 3 кусок из 3 звеньев и 1 кусок из 4 звеньев, расположенные в среднем ряду, то получим всего 5 больших и 5 маленьких звеньев.
Если бы мы сумели найти 4 куска, содержащие всего 9 звеньев, то сэкономили бы на этом еще 3 цента, но это сделать невозможно так же, как невозможно найти 5 кусков, содержащих 8 звеньев, и т. д. Следовательно, стоимость ремонта составит 30 центов.
499. Прибавьте IV, перевернутое «вверх ногами», к VI, и вы получите XI.
500. Каждый год, делящийся на 4, является високосным, за исключением тех лет, которые делятся на 100; из этих последних високосными будут только те, которые делятся на 400, а остальные не являются високосными. Обычно это обстоятельство упускают из виду. Так, 1800 г. не был високосным, не был им и 1900 г.; однако 2000, 2400, 2800 гг. и т. д. будут високосными. Первым днем нашего века был вторник 1 января 1901 г.
В нашем веке всего 25 високосных лет, поскольку 2000 г. високосный. Следовательно, он содержит 36 525 (365 × 100 + 25) дней, или 5217 недель и 6 дней; поэтому 1 января 2001 г. наступит на 6 дней позднее вторника, то есть придется на понедельник. Век, начинающийся 1 января 2001 г., будет содержать только 24 високосных года, поскольку 2100 г. невисокосный, и 1 января 2101 г. наступит на 5 дней позднее понедельника, то есть в субботу, поскольку в этом веке будет 5217 недель и только 5 лишних дней. Теперь нам удобно представить результаты в виде таблицы:
1 января 1901 г. — Вторник
1 января 2001 г. — Понедельник. На 6 дней позже (2000 г. високосный)
1 января 2101 г. — Суббота. На 5 дней позже
1 января 2201 г. — Четверг. На 5 дней позже
1 января 2301 г. — Вторник. На 5 дней позже
1 января 2401 г. — Понедельник. На 6 дней позже (2400 г. високосный)
Таким образом, мы видим, что первые дни последовательных веков циклически повторяются в порядке: вторник, понедельник, суббота, четверг; поэтому они никогда не придутся на воскресенье, среду или пятницу.
501. Прежде чем склеивать концы полоски, поверните один из них на пол-оборота так, чтобы кольцо оказалось перекрученным. Тогда муха сможет проползти через все квадраты, не перейдя через край бумаги, поскольку, как это ни странно, у полученного кусочка бумаги будет только одна сторона и один край!
[Дьюдени описывает то, что теперь хорошо известно как лист Мёбиуса — один из самых курьезных объектов топологии (см. М. Гарднер, Математические головоломки и развлечения, гл. 7, М., изд-во «Мир», 1971). — М. Г.]
502. Несомненно, правильным решением этой головоломки является BACH (Бах). Если вы начнете поворачивать крест, то получите последовательно В-бемоль (ключ соль), А (теноровый ключ), С (альтовый ключ) и В натуральное (ключ соль). По немецкой терминологии В-бемоль называется «В», а В натуральное «Н», что и дает BACH.
Это напоминает мне органную фугу К. П. Эмануеля Баха, основанную на его фамилии и начинающуюся так, как показано на рисунке.
503. Если каждый из двух мужчин женится на матери другого и от каждого из браков родится по сыну, то каждый из этих сыновей будет приходиться другому одновременно и дядей, и племянником. Это простейший ответ.
[Возможны еще два ответа: 1) каждая из двух женщин выходит замуж за отца другой; 2) мужчина женится на матери некой женщины, а эта женщина выходит замуж за отца этого мужчины. — М. Г.]
504. Если у каждой из двух вдов есть по сыну и если каждая из них выходит замуж за сына другой, причем они рожают от этих браков по дочери, то в результате получаются те самые родственные связи, которые указаны в эпитафии.