Извлечь кубический корень из 1 может всякий. Хотя этот пример и подкрепляет высказанное мной утверждение, он слишком тривиален, и мы его рассматривать не будем. Предположим, что требуется извлечь кубический корень из 512. Находим сумму цифр, равную 8, и ответ получен!
Я высказал предположение, что здесь мы имеем дело с исключительным случаем.
— Вовсе нет, — возразил профессор, — возьмем наугад другое число, скажем 4913. Сумма его цифр равна 17, а 17 в кубе равно 4913.
Я не осмелился возражать ученому, но попрошу читателей найти все остальные числа, у которых кубический корень совпадает с суммой цифр. Этих чисел так мало, что их буквально можно пересчитать по пальцам.
120. Необычный пример на деление. Вот довольно любопытная головоломка. Найдите наименьшее число, которое при последовательном делении на 45, 454, 4545 и 45 454 даст в остатке соответственно 4, 45, 454 и 4545. Быть может, найти такое число нелегко, зато, решая задачу, вы освежите свои познания в арифметике.
121. Три различные цифры. Профессор предложил студентам найти все числа, составленные из трех различных цифр, каждое из которых делится на квадрат суммы своих цифр. Так, в случае числа 112 сумма цифр равна 4, квадрат ее равен 16 и 112 делится на 16, но, к несчастью, 112 составлено не из трех различных цифр.
Сумеете ли вы найти все возможные решения задачи?
122. Цифры и кубы. Профессор Рэкбрейн попросил недавно своих молодых друзей найти все пятизначные квадраты, у которых сумма чисел, образованных двумя первыми и двумя последними цифрами, равна точному кубу. Так, если мы возьмем квадрат числа 141, равный 19 881, и прибавим 81 к 19, то получим 100 — число, не являющееся, к сожалению, точным кубом.
Сколько всего существует решений?
123. В обратном порядке. Какое девятизначное число, будучи умноженным на 123 456 789, даст произведение, у которого в девяти младших разрядах будут стоять цифры 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (именно в таком порядке)?
124. Прогрессия. «Если из девяти цифр, — сказал профессор Рэкбрейн, — вы составите три числа 147, 258, 369, то обнаружите, что любое последующее отличается от предыдущего на 111 и что, следовательно, получилась арифметическая прогрессия».
Не смогли бы вы переставить девять цифр четырьмя способами так, чтобы в каждом случае три числа образовывали арифметическую прогрессию, а среднее число оставалось бы одним и тем же?
125. Составление целых чисел. Может ли читатель назвать сумму всех целых чисел, составленных из четырех цифр 1, 2, 3, 4? Другими словами, требуется вычислить сумму таких чисел, как 1234, 1423, 4312 и т. д. Разумеется, можно было бы выписать подряд все такие числа и затем сложить их. Однако интереснее отыскать простое правило, с помощью которого можно найти суммы чисел, составленных из четырех различных произвольно выбранных (отличных от нуля) цифр.
126. Суммирование чисел. Профессор Рэкбрейн хотел бы знать, чему равна сумма всех чисел, которые можно составить из девяти цифр (0 исключен), используя каждую цифру в каждом числе один и только один раз.
127. Цифровое квадрирование. Возьмите девять фишек с цифрами соответственно от 1 до 9 и расположите их в ряд, как показано на рисунке. Требуется, переставив пары фишек как можно меньшее число раз, расположить их в таком порядке, чтобы цифры образовали квадрат целого числа. В качестве примера приведем следующие шесть перестановок: 
(7 и 8 меняются местами), 
, 
, 
, 
, 
. В результате получается число 139 854 276, равное квадрату числа 11 826. Однако задачу можно решить с помощью гораздо меньшего числа перестановок.
128. Цифры и квадраты. Одна из небольших рождественских головоломок профессора Рэкбрейна гласит следующее: чему равны наименьший и наибольший квадраты, содержащие все десять цифр от 0 до 9, причем каждую цифру — лишь по одному разу?
129. Цифровые квадраты. Очень хорошая головоломка состоит в том, чтобы найти число, которое вместе со своим квадратом содержало бы по одному и только одному разу каждую из девяти цифр, исключая нуль. Так, если бы квадрат числа 378 равнялся 152 694, то это число нам бы подошло. Но на самом деле его квадрат равен 142 884, что дает нам две четверки и три восьмерки, а 6, 5 и 9 отсутствуют.
Существует только два решения; их можно найти за четверть часа, если действовать правильно.
130. Отыскание квадрата. Даны шесть чисел: 4 784 887, 2 494 651, 8 595 087, 1 385 287, 9 042 451, 9 406 087. Известно, что три из них в сумме дают полный квадрат. Что это за числа?