Простая задача на вероятность
Одной из известнейших телевизионных игр эпохи расцвета этого жанра была игра «Давайте заключим сделку» (Let’s Make a Deal), выходившая в телеэфир с 1950-х по 1980-е гг. Ведущий, Монти Холл, стал широко известен в весьма узких кругах, когда в его честь назвали парадокс из области теории вероятности, в общих чертах основанный на сценарии шоу[33]. Участника ставят перед тремя дверьми. За одной из них новехонький сверкающий автомобиль. За двумя другими — по козе. Участник выбирает дверь, скажем дверь № 1. Нагнетая напряжение, Монти открывает одну из двух оставшихся дверей, скажем дверь № 3, и показывает зрителям козу. Дополнительно накаляя обстановку, он дает участнику возможность либо не менять решения, либо изменить его, выбрав другую дверь. Вы — участник. Что бы вы сделали?
Чуть ли не каждый остается при своем выборе[34]. Игроки думают, что, раз машина может оказаться за любой из трех дверей, а дверь № 3 из игры выбыла, шансы, что машина стоит за дверью № 1 или за дверью № 2, равны и составляют 50/50. Хотя никакого вреда переключение не принесет, они считают, что и пользы от него не будет. Поэтому они придерживаются первоначального выбора — либо по инерции, либо из гордости, либо из-за смутного ощущения, что проигрыш при изменении решения принесет им больше огорчения, чем победа — радости.
О парадоксе Монти Холла заговорили в 1990 г., когда о нем написали в колонке «Спроси у Мэрилин» в журнале Parade, который вкладывался в воскресные издания сотен американских газет[35]. Вела колонку Мэрилин вос Савант, в то время известная как «самая умная в мире женщина»: она была внесена в Книгу рекордов Гиннесса как обладательница самого высокого в мире IQ. Вос Савант писала, что участнику лучше бы передумать: шансы, что машина находится за дверью № 2, составляют два из трех, шансы, что она стоит за дверью № 1, — только один из трех. В ответ в журнал пришло около десяти тысяч писем (примерно тысяча из них — от обладателей ученых степеней, в основном от математиков и статистиков), в которых утверждалось, что она не права. Вот несколько примеров:
Вы прокололись, и прокололись по-крупному! Похоже, вы не понимаете действующих здесь базовых принципов, так что я вам объясню. После того как ведущий показывает козу, ваши шансы угадать правильно составляют один к двум. Поменяете вы свой выбор или нет, шансы не изменятся. Математической безграмотности в стране и так достаточно, и нам не нужно, чтобы ее распространяла еще и обладательница самого высокого в мире IQ. Стыдитесь!
Я уверен, что вы получите массу писем на эту тему от старшеклассников и студентов колледжей. Может, вам стоит сохранить себе пару адресов, чтобы при случае попросить помощи в работе над будущими колонками.
Может, женщины иначе понимают математические задачи — не так, как мужчины.
В числе несогласных был даже Пал Эрдёш (1913–1996), прославленный математик, настолько плодовитый, что ученые меряются своими «числами Эрдёша» — длиной кратчайшей цепи соавторов по публикациям, связывающей их с этим великим теоретиком[37].
Но математики-мужчины, свысока объяснявшие свое решение самой умной в мире женщине, ошибались, а вот она была права. Участнику лучше бы изменить свое решение. И нетрудно понять почему. Автомобиль может стоять за любой из трех дверей. Давайте подумаем о каждой из них и подсчитаем, сколько раз из трех вы выиграете, придерживаясь одной из двух возможных стратегий. Вы выбрали дверь № 1 — конечно, это просто мы ее так назвали; пока Монти придерживается правила: «Открой невыбранную дверь, за которой стоит коза; если коза за обеими, открой любую», шансы выиграть равны, какую бы дверь вы ни выбрали.
33
Эту задачу впервые сформулировал автор книг по популярной математике Мартин Гарднер (1959), который назвал ее «задачей трех узников»; в честь Монти Холла ее окрестил статистик Стивен Селвин (1975).
37
Vazsonyi 1999. Мое число Эрдёша — 3, благодаря публикации Michel, Shen, Aiden, Veres, Gray, The Google Books Team, Pickett, Hoiberg, Clancy, Norvig, Orwant, Pinker, Nowak, & Lieberman-Aiden 2011. Ученый-информатик Питер Норвиг выступил соавтором доклада другого ученого информатика (и соавтора Эрдёша), Марии Клаве.