Независимость
Аксиома независимости, пожалуй, наиболее интересна, поскольку почти с самого начала вызвала споры. Она может быть сформулирована следующим образом. Предположим, вы предпочитаете А, а не В, где А и В могут быть либо детерминированными исходами, либо вероятностными распределениями. Затем вам предлагают выбрать между альтернативами AC и BC. AC - это A с вероятностью p и C с вероятностью (1-p), а BC - это B с вероятностью p и C с вероятностью (1-p). Независимость требует, чтобы вы предпочли AC альтернативе BC. Вероятность C не влияет на ваше предпочтение между A и B. Или, по крайней мере, это один из способов интерпретации аксиомы.
Эта несколько странная аксиома смоделирована на аксиоме потребительского и политического выбора, которая стала известна как "независимость нерелевантных альтернатив". Если у вас есть выбор между A и B, и вы предпочитаете A B, вы все равно предпочтете A B, если будете выбирать из множества, содержащего A, B и C. В ресторане вам предлагают на выбор мясо или рыбу, и вы выбираете мясо. Затем официант говорит вам, что есть и вегетарианский вариант. Если вы скажете: "В таком случае я буду рыбу", вы нарушите аксиому независимости нерелевантных альтернатив (хотя, проявив немного изобретательности, вы сможете придумать причины для такого решения). Независимость иррелевантных альтернатив приобрела большое значение и известность, потому что американский экономист Кеннет Эрроу показал, что большинство правил принятия социальных и политических решений, таких как голосование большинством, приводят к предпочтениям группы, которые нарушают это требование.
Парадокс Алле отражает нарушение аксиомы независимости. Морис Алле первоначально задал следующий вопрос: что бы вы предпочли - 11%-ную вероятность выигрыша 100 млн. ф. ст. (иначе никак) или 10%-ную вероятность выигрыша 500 млн. ф. ст. и иначе никак? Большинство предпочло последнее, надеясь на больший приз и не беспокоясь о небольшом снижении вероятности успеха.
Затем Аллаис предложил довольно щедрую модификацию проблемы. Вы бы точно взяли 100 млн FF? Или вы предпочтете 89%-ную вероятность 100 млн FF, 10%-ную вероятность 500 млн FF и 1%-ную вероятность вообще ничего не получить? Большинство согласились, что при таком выборе они бы выбрали уверенность в 100 млн FF.
Затем Аллаис напомнил участникам об ожидаемой стоимости различных вариантов. Первый выбор был между ожидаемой стоимостью в 11 млн. ф. ст. (11% от 100 млн. ф. ст.) и ожидаемой стоимостью в 50 млн. ф. ст. (10% от 500 млн. ф. ст.). Второй выбор сравнивает 100 млн. ф. ст. наверняка с ожидаемой стоимостью, которую легко рассчитать, но которую обычно отвергают - 139 млн. ф. ст. И если вы внимательно рассмотрите эти два предложения, то увидите, что в обоих случаях вопрос заключается в том, компенсирует ли увеличение ожидаемого выигрыша на 39 млн. ф. ст. увеличение вероятности выигрыша на 1%.
Что бы здесь ни происходило, дело не в том, что обедающие были неспособны выполнить простую арифметику, необходимую для вычисления ожидаемой стоимости. Все призы представляли собой судьбоносные суммы денег, даже для Самуэльсона, уже автора бестселлера и будущего лауреата Нобелевской премии. Но мы подозреваем, что многие читатели уже сделали тот же выбор, что и обедающие, не задумываясь о ценности предлагаемых призов. Возможно, участниками двигал страх сожаления о том, что они уйдут с пустыми руками, даже если вероятность этого составляла всего 1%.
Затем Аллаис указал, что выбор нарушает предположение о максимизации ожидаемой полезности. Согласно этому предположению, первый выбор подразумевает, что
0,1×u(500) + 0,9×u(0) > 0,11×u(100) +0,89×u(0)
а второй вариант подразумевает, что
u(100) > 0,89×u(100) + 0,1×u(500) + 0,01×u(0).
Простая перестановка показывает, что первый выбор подразумевает, что
0,11×u(100) < 0,1×u(500) + 0,01×u(0)
а второй вариант подразумевает, что