Родился 1 марта 1912 года в городе Лодзе (Польша) в семье служащих. Накануне Первой мировой войны родители Чертока вернулись в Москву, где в 1929 году он окончил девятилетнюю школу и начал трудовую деятельность электромонтером на Краснопресненском силикатном заводе. Еще в школе он увлекся радио и электротехникой, а в 1928 году журнал «Радио всем» опубликовал описание разработанного им универсального лампового приемника.
В конце 1930 года Черток поступает на завод № 22 (впоследствии завод имени С. П. Горбунова). Здесь он работал электромонтером по оборудованию самолетов (1930–1933), радиотехником по самолетному радиооборудованию (1933–1935), начальником конструкторской группы ОКБ (1935–1937) и начальником конструкторской бригады по самолетному оборудованию и вооружению (1937–1938).
В эти годы Черток стал автором ряда изобретений, подтвержденных авторскими свидетельствами. В 1934–1935 годах он разработал автоматический электронный бомбосбрасыватель, который прошел испытания в НИИ ВВС. В 1935 году как изобретатель Черток был выдвинут на инженерную должность в ОКБ, возглавлявшееся главным конструктором В. Ф. Болховитиновым. В 1936–1937 годах (он еще не имел законченного высшего образования) был назначен ведущим инженером по электрооборудованию самолетов полярных экспедиций.
В 1934 году Черток поступил в Московский энергетический институт и до 1938 года совмещал работу с учебой. В 1940 году с отличием защитил дипломный проект, получив квалификацию инженера-электрика. Его темой являлась разработка системы электрооборудования тяжелого самолета на переменном токе повышенной частоты.
С 1940 по 1945 год Черток работал в ОКБ главного конструктора В. Ф. Болховитинова на заводе № 84, потом на заводе № 293 и в НИИ-1 НКАП в должности начальника группы, затем был назначен начальником бригады и впоследствии — начальником отдела. Во время Великой Отечественной войны Черток разработал автоматику управления вооружением самолетов и зажигания жидкостными ракетными двигателями. Им также была создана система управления и электрического зажигания ЖРД, которая использовалась в первом полете ракетного самолета БИ-1, осуществленном капитаном Г. Я. Бахчиванджи в 1942 году.
В апреле 1945 года в составе специальной комиссии Борис Евсеевич был командирован в Германию, где до января 1947 года руководил работой группы советских специалистов по изучению ракетной техники. В том же году вместе с А. М. Исаевым он организовал в советской оккупационной зоне (в Тюрингии) совместный советско-германский ракетный институт «Рабе», который занимался изучением и развитием техники управления баллистическими ракетами дальнего действия. На базе института в 1946 году был создан новый институт — «Нордхаузен», главным инженером которого был назначен С. П. Королев. С этого времени Черток работал в тесном сотрудничестве в С. П. Королевым.
В августе 1946 года приказами министров авиационной промышленности и вооружения Черток переведен на должность заместителя главного инженера и начальника отдела систем управления Научно-исследовательского института
№ 88 (НИИ-88) Министерства вооружения. В 1950 году он стал заместителем начальника отдела, а в 1951 году — начальника отдела систем управления ОКБ-1 НИИ-88, главным конструктором которого был С. П. Королев. В 1948 году Черток создал первую в стране лабораторию по разработке инерциальных астронавигационных систем для летательных аппаратов.
После выделения в августе 1956 года ОКБ-1 с опытным заводом № 88 из НИИ-88 в самостоятельное предприятие — Опытно-конструкторского бюро № 1 (начальник и главный конструктор С. П. Королев) Черток с 1957 по 1963 год работал заместителем главного конструктора ОКБ-1. В 1958 году ему была присуждена ученая степень доктора технических наук.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 июня 1961 года за создание образцов ракетной техники и обеспечение успешного полета Ю. А. Гагарина в космическое пространство Чертоку Борису Евсеевичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот». В 1963 году был назначен заместителем начальника предприятия по научной работе и начальником филиала № 1, на котором разрабатывались космические аппараты и системы управления. С 1966 года — заместитель главного конструктора — руководитель комплекса ЦКБЭМ.