Гимназия финансируется на «ять», сразу видно. И по светлым коридорам, блестящим полам, по мажорным туалетам, — да, заглянул, больше ради любопытства, — с освежителями воздуха, бумажными одноразовыми полотенцами и дозаторами жидкого мыла.
Это областная олимпиада по математике. Проводится в городе, у него ведь громкий статус региональной столицы, хотя так себе городишко, двести тысяч с хвостиком народу. Крутой этап, предусмотрено два дня, офигеть! Каждый день по пять задач, по семь баллов за штуку. Теоретически за два дня можно набрать семьдесят баллов. Начнём!
9.1. Однажды на перемене Вася выписал на листке десять натуральных чисел. Всенаписанные числа попарно различны. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать тричисла, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыречисла, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть меньше 75?
Голова включается быстро. Не зря тренировался. Из тренировок выпал только один день, первое января, когда продрал глаза только в одиннадцатом часу утра. В родительской спальне Полинки и вместе с ней же. Без рубашки и носков, но в брюках, что меня сразу успокоило. Девочка миленько сопит своим носиком рядом. Ей-то хорошо, она дома и переоделась в ночную пижамку. Длинную, со штанами.
Постель Полина разбирать не стала, укрыла нас каким-то покрывалом. В доме тепло, нам хватило. Кажется, мы целовались, но я быстро ушёл в аут.
После того не дал себе ни одного дня без тренировок. По выходным и каникулярным по утрам решал задачи или подробно разбирал не поддавшиеся моему мощному интеллекту.
Так и эта, только для разминки…
Во-первых, надо найти комбинацию с наименьшей суммой. Три наименьших числа, делимых на пятёрку: 5, 10, 15. Меньше не найдёшь. Аналогично, четыре числа, делимых на четыре: 4, 8, 12, 16. Замечательно! Общая сумма — семьдесят. Уменьшить можно? А как же! Могут быть числа, одновременно делящиеся на пять и четыре. Само собой, наименьшее из них это двадцать. И это число одновременно «выбивает» из наших двух списков два наибольших числа, 15 и 16. Прибавляем 20, отнимаем 15 + 16 = 31, сальдо в сторону уменьшения. Итоговая сумма = 59 и нам нужно выбрать ещё четыре самых маленьких числа: 1, 2, 3, 6. Общая сумма = 71! Так что мы еще можем заменить шестёрку на семёрку или девятку и получить целых три возможных комбинации чисел, сумма которых меньше 75.
Есть недостатки или промахи в рассуждениях? Не вижу! Записываем начисто, аккуратно и подробно, но лаконично указывая каждый шаг в рассуждениях. Это тоже важно. Очень важно не только решить, но и выгодно показать своё решение. Даже записью, достаточно разрежённой, чтобы глаза в плотных строчках не путались.
Надеюсь, железно заработал первые семь очков. Поехали дальше…
У-ф-ф-ф! Вроде всё. Записываю начисто последнюю задачу. Натурально очумел от третьей и раскусить её не смог. Надвое разбери её гениального создателя ржавым якорем через тёмную сердцевину! Заноза в сердце, пропущенный удар!
Вот она, заноза в сердце:
9.3 Дан квадратный трёхчлен P(x), не обязательно с целыми коэффициентами.Известно, что при некоторых целых a и b разность P(a) - P(b) - является квадратомнатурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел ( c , d ) ,что разность P(c) - P(d) - также является квадратом натурального числа.
Хотя чего так переживаю? Счёт в мою пользу убедительный — 4:1, двадцать восемь баллов в кармане, если злобное и придирчивое жюри не срежет. Но мне даже за почерк не срежешь, мало отличим от каллиграфического и оформлены работы безупречно. На мой взыскательный взгляд. Какой почерк у остальных, мельком заметил. Некоторым с таким почерком не в математики, а в медики идти надо.
5 февраля, день второй.
Вчера на выходе меня встретил Сергей Викторович, наш математик. Не утерпел, или директор его навстропалил, страхует меня на этот раз. Подозреваю, дело не в собственной инициативе или верховной воле господина директора, а в том, что по результатам олимпиады причастным учителям полагаются плюшки. Точно не знаю, трудно судить по невнятным намёкам, случайно услышанным. Но если даже нас будут награждать, в том числе, рублёвыми премиями, то и учителей не обойдут. Вроде им полагается такая же, какую их ученики получат. А если десять учеников получит, ха-ха-ха!