28. Теорема Пифагора
Теорему Пифагора, можно надеяться, знает каждый школьник. Она была известна еще до нашей эры, и говорит о том, что для прямоугольного треугольника со сторонами a,b,c выполняется равенство a2 + b2 = c2.
Ничего сложного, в этом разумеется, нет. Интерес тут представляет другое - так называемые “пифагоровы тройки” - наборы из целых чисел, удовлетворяющие теореме Пифагора. Если например, мы возьмем треугольник со сторонами a=1 и b=2, то с будет равна 2.236, что не является целым числом. А вот треугольник со сторонами a=3 и b=4 удовлетворяет данному условию (с=5).
Таких наборов достаточно много, например (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) и пр. Интересно посмотреть на них графически - для чего отметим соответствующие точки (3,4, 5,12 и пр) на плоскости. Для вывода напишем простую программу на языке Python - просто переберем все пары X,Y, и отметим точками те, для которых выполняется целочисленное равенство.
import math
import matplotlib.pyplot as plt
r_max = 20
pt_x, pt_y = [], []
cnt = 0
for x in range(1, r_max):
for y in range(1, r_max):
d = math.sqrt(x*x + y*y)
if d.is_integer():
print x, y, d
pt_x.append(x)
pt_y.append(y)
cnt += 1
print("CNT:", cnt)
plt.plot(pt_x, pt_y, 'ro', markersize=1)
plt.axhline(0, color='black')
plt.axvline(0, color='black')
plt.show()
Полученная картинка для чисел от 1 до 20 показана на рисунке. Ей соответствуют треугольники со сторонами 3,4,5, 6,8,10, 5,12,13, 9,12,15, 8,15,17 и 12,16,20. Некоторые треугольники, например 6,8,10 являются умножением на 2 предыдущей тройки 3,4,5. Те тройки, которые не имеют таких пар, называются примитивными.
Если увеличить количество точек по оси, то мы увидим вполне красивый периодический узор:
Разумеется, изображение является симметричным, его можно продлить и в сторону отрицательных чисел.
Интересно заметить проявляющиеся параболические дуги, узор которых является довольно-таки сложным.
Можно оставить на картинке только примитивные пары, при этом количество точек станет заметно меньше, зато параболический узор становится гораздо заметнее.
Кстати, для более высоких степеней N > 2 выражение an + bn = cn уже не имеет решений для целых чисел. Это так называемая “Великая теорема Ферма”, которая занимала умы математиков не одну сотню лет. Теорема была полностью доказана лишь в 1995г Эндрю Уайлсом, а доказательство занимает 130 страниц.
29. ABC-гипотеза
Еще один интересный пример из теории чисел - так называемая ABC-гипотеза. Она была сформулирована в 1985г, и до сих пор является одной из нерешенных задач.
Гипотеза формируется довольно-таки просто: для любого числа s>1 существует ограниченное множество троек взаимно простых чисел A+B = C, таких что (rad(A)*rad(B)*rad(C))s < C.
Операция rad(N) называется радикалом, и определяется как произведение всех простых чисел, из которых можно составить число N:
rad(7) = 7 (7 = 1*7)
rad(8) = 2 (8 = 2*2*2)
rad(10) = 10 (10 = 5*2)
rad(17) = 17 (17 = 17*1)
rad(30) = 30 (30 = 2*3*5)
Числа называются взаимно простыми, если они не имеют одинаковых простых множителей, например 3 и 20 взаимно-простые (3=3, 20=2*2*5), а 12 и 15 нет (12=2*2*3, 15=3*5).
Так вот, ABC-гипотеза говорит о том, что если взять некое число S>1, например 1.2, то количество равенств A,B,C, удовлетворяющих описанному условию, будет ограниченным. Пример такой тройки чисел: 1+8=9.
Действительно, rad(1)=1, rad(8)=2, rad(9)=3, и 3 > (1*2)1.2.
Интерес гипотезы, во-первых, в том, что таких равенств мало, для большинства чисел неравенство не выполняется. Например, если взять наугад, равенство 10+6=16, то (rad(10)*rad(6)*rad(16))1.2 = (10*6*2)1.2 = 312.6, > 16.
Во-вторых, доказать эту гипотезу чрезвычайно сложно. На момент написания книги, только один японский математик Синъити Мотидзуки попытался доказать ее, но это доказательство занимает 500 страниц, и его корректность пока что никто не смог подтвердить (у некоторых ученых были сомнения в его корректности, да и разобраться в таком объеме непросто).