Вместо громоздкого перебора всех возможных значений λ , собственное значение легко найти эквивалентным преобразованием — подстановкой. Подставив значение переменной у из уравнений (2) в уравнение (1), мы получим:
(2λ2 + 2)х = 2(λ2 + λ)χ, (5)
Приведя подобные члены, получим:
(2λ - 2)χ = 0. (6)
Из уравнения (6) сразу следует, что не нулевые решения для х возможны лишь, если λ = 1.
Таким образом, эквивалентные преобразования позволили легко и просто найти (как и следовало ожидать) правильную величину собственных значений. Здесь все верно.
А теперь посмотрим, что получается при проверке корректности, при проверке зависимости собственных значений от малых изменений коэффициентов. После эквивалентных преобразований мы имеем дело с уравнением (6). В него входят два одинаковых коэффициента: двойка при λ и двойка как свободный член. Пусть свободный член изменился на 1% и стал равен 1,98. Тогда и собственное значение изменится на 1% и станет равным 1,01. То же самое произойдет, если на 1% изменится коэффициент при λ . Общий вывод: малым изменениям коэффициентов соответствуют малые изменения решения. Решение корректно.
А теперь (внимание!) исследуем корректность решения той же задачи до эквивалентных преобразований. Обратимся к исходным уравнениям (1) и (2) и посмотрим, что будет, если, например, коэффициент при λ2 в уравнении (1) изменится на 1% и станет равным 1,98, а система (1)-(2) перейдет в систему:
(1,98λ2 + 2)х = 2у (7)
(λ2+λ) = γ (8)
Отыскивая собственные значения для системы (7)-(8), мы убедимся, что их два: λ1 = 0,99019; λ2 =-100,99019 (с точностью до пятого знака после запятой). Можно проверить, что у системы (7)-(8) и при λ1 =0,99019, и при λ2 =—100,99019 действительно будут не нулевые решения х и у. Таким образом, для системы (1)-(2) решение задачи отыскания собственных значений — не корректно: уже при изменении одного из коэффициентов на 1% решение меняется коренным образом — вместо одного собственного значения появляется два, причем второе собственное значение резко отличается от первого (и даже имеет другой знак). Можно проверить, что если в системе (1)-(2) коэффициент при λ в уравнении (1) изменить не на 1%, а на 0,1% или даже на 0,01%, то все равно вместо одного собственного значения появятся два. Для системы (1)-(2) решение задачи о собственных значениях на самом деле не корректно — но мы не увидим этого, если будем исследовать корректность решения после эквивалентных преобразований системы, как это рекомендуют традиционные методы. Система (1)-(2) является особой системой — системой, у которой корректность решения изменяется после эквивалентных преобразований.
Для простой системы (1)-(2) все ясно и понятно: в уравнениях (1) и (2) коэффициенты при λ2 после эквивалентного преобразования взаимно сокращаются и исчезают, хотя именно их малые изменения в исходной системе приводят к большим изменениям собственных значений. В более сложных системах все сложнее, распутать причины и следствия очень не просто, но главное заключается в другом: даже на примере очень простой системы (1)-(2) мы показали, что эквивалентные преобразования могут изменять многие важные свойства математических моделей. Могут изменять корректность решения, могут изменять запасы устойчивости и т. д. Впервые все это было опубликовано в 1987 году, в книге [1] (номер в квадратных скобках соответствует номеру в списке литературы в конце брошюры), а более подробно — в книгах [2], [3].
§ 6. Следствия. Методы предотвращения катастроф
Теперь рассмотрим — какие следствия вытекают из открытий, сделанных с СПбГУ. Прежде всего — сразу получаем простое и логичное объяснение тайны катастрофы аквапарка «Трансвааль». Вполне возможно, что купол аквапарка оказался особым объектом, математическая модель которого изменяет корректность решений при эквивалентных преобразованиях — подобно математической модели в виде системы (1)-(2), которую мы рассмотрели в предыдущем разделе. Купол аквапарка проектировал Н. Канчели примерно в 2000 году. Он проводил расчет критических нагрузок по преобразованной модели, поскольку в 2000 году все методики строительных расчетов рекомендовали поступать именно так. В 2000 году никто из строителей еще не подозревал о существовании особых объектов, не понимал истинных свойств эквивалентных преобразований. Поэтому Н. Канчели с чистой совестью правильно и добросовестно применял общепринятые тогда методы расчета, а руководитель Мосгосэкспертизы А. Воронин, проверяя его расчеты, подтвердил, что они сделаны правильно и в полном соответствии с общепринятыми нормами и правилами, существующими в 2000 году. А то, что для особых объектов эти общепринятые нормы и правила неизбежно ведут к катастрофам и гибели людей — об этом в 2000 году никто из архитекторов и строителей еще не знал. Поэтому предъявление уголовных обвинений Н. Канчели и А. Воронину не поможет делу.