(1) Высказывание (I) ложно.
Предполагаю, что кто-нибудь может подумать, что не является законным использовать “(I)” для обозначения высказывания, которое содержит как свою собственную часть само “(I)”, однако многие формы “само-ссылки” являются достаточно безвредными. (Например: “Запишите сказанное мною предложение в свою записную книжку”.) В любом случае предложение исключать само-ссылки из языка, оказывается слишком дорогим. Действительно, Гёдель показал, что, поскольку наш язык содержит теорию чисел, постольку всегда будут существовать способы построения предложений, ссылающихся на самих себя. Таким образом, мы должны поставить условием, что высказыванию (I) не может быть отказано в статусе собственно высказывания только на том основании, что оно упоминает самое себя. Представляется, однако, что мы имеем парадокс.
Обычно мы получаем парадокс, констатируя тот факт, что если высказывание (I) истинно, то оно должно быть ложным. Но как мы это получили? Мы должны принять следующий принцип: сказать о высказывании, что оно истинно, значит принять его. Тарский, основатель современной логической теории по этим проблемам[14], использовал пример высказывания “Снег бел” как свой пример типичного высказывания и как требование, что любой удовлетворительный анализ истины должен дать нам возможность показать, что
“Снег бел” истинно, если и только если снег бел,
что стало знаменитым примером как в философской, так и в логической литературе. Теперь, если мы принимаем высказывание (I) как обладающее истинностной оценкой (если оно не имеет истинностной оценки, то находится за пределами теории Тарского), то согласно упомянутому принципу следует, что
(i) “(I) ложно” является истинным, если и только если (I) является ложным,
и затем
(ii) “(I) ложно” является истинным, если и только если “(I) ложно” является ложным
– что является противоречием!
На самом деле до этого момента противоречие не возникало. Мы предположили, что “(I) ложно” обладает истинностной оценкой, и теперь это предположение опровергнуто. Мы не можем непротиворечиво утверждать, что (I) или истинно или ложно. Но почему мы должны хотеть утверждать то или другое? Разве не естественно сказать, что (I) не является ни истинным, ни ложным?
Действительно это так. Однако теперь перед нами встает другой парадокс – парадокс, который Чарльз Парсонс назвал парадоксом Строгого Лжеца. Он имеет форму:
(II) Высказывание (II) или ложно или не имеет истинностной оценки. Высказывание (II) является парадоксальным, потому что если мы пытаемся избежать предыдущей аргументации отрицанием наличия у (II) истинностной оценки, т. е. утверждаем, что (II) не имеет истинностной оценки, то с очевидностью следует, что
(II) или ложно или не имеет истинностной оценки
– и высказывание (II) представляет собой высказывание, которое мы сами только что сделали! Поэтому мы должны согласиться с тем, что (II) истинно, что подразумевает, что мы сами себе противоречим.
Тарский считал – и то является ортодоксальной точкой зрения среди логиков вплоть до сегодняшнего дня, – что в правильно построенном языке мы можем избежать таких парадоксов, оставив идею, что существует всеобщее и единое понятие истины, т. е. оставив идею, что “есть истинно” представляет собой неизменный предикат, независимый от языка. Более того, он считал, что если я говорю о высказывании на языке L, что оно истинно или ложно, мое утверждение принадлежит к другому языку – “мета-языку” или мета-L. Ни один язык не может содержать свой собственный предикат истинности. (“Семантически замкнутые языки являются противоречивыми”.)
Само-ссылка не устраняется таким образом. Могут существовать высказывания типа:
(III) Высказывание (III) не-истинно в L,
но это высказывание будет принадлежать не L, а только мета-L,. Поскольку оно неправильно построено в L, то, конечно, истинно, что оно не-истинно в L. А поскольку именно это утверждается в мета-L, это является истинным в мета-L. Осознав, что истина связана с языком, мы увидим почему (III) является нонсенсом (или не-истиной) в “объектном языке” L и истинно в мета-языке мета-L, что будет разрешением парадокса.
Остается определить, достиг ли Тарский успеха или просто перевел антиномию из формального языка в неформальный, используемый им самим при объяснении значимости его формальных работ. Учитывая это, я повторю вопрос: устранил ли Тарский, как иногда неправильно утверждается, само-ссылку как таковую. (Как я заметил, цена устранения всех возможных форм само-ссылки из языка слишком высока.) Скорее, он оставил идею, что мы обладаем единым понятием истины. Если каждый язык имеет свой собственный предикат истинности, и понятие “истинное в L”, где L является языком, выражается в другом языке (мета-языке), а не в самом L, мы можем избежать всех “семантических парадоксов”. Но в каком языке, как предполагается, все это высказывает сам Тарский?
14