В существующих попытках решения уравнений Навье-Стокса пространство R3 условно разбивают (дискретизируют) сеткой с кубичиескими элементами.
Попытки аналитического решения, например, в работе [4], сводятся к назначению граничных условий для уравнений и поиску решений.
Граничные условия для куба со сторонами x, y, x и шагом Q записываютcя в виде:
Очевидно, что движение жидкости в пространстве R3 и в любом пространстве, моделью Навье и его представлениями не описывается. Область вокруг точки не превышает колмогоровского масштаба.
Уравнения Навье-Стокса сооставлены для физической модели мелкого колмогоровского масштаба и не соответсвуют физическим процессам турбулентного движения больших объемов жидкости.
В случае аналитически точного решений Уравнений Навье-Стокса для случая течения Пуазёйля, решение выполняется для физического процесса, описываемого процесс для куба.
Существут методы прямого численного решения уравнений Навье-Стокса [5], [6], [7].
В этих методах (конечно-разностных) выполняется дискретизация пространства сеткой. Производная заменяется на алгебраическое отношение.
Очевидно, что в численных методах для пространства R3 решаются уравнения Навье-Стокса, не описывающие физического процесса на пространстве R3. Однако, результаты решений для каждого сеточного куба переносятся для интегрального решения для всей сетки, т.е. для пространства R3.
Для модели турбулентности Колмогорова такой подход означал бы расчет рассеянной энергии на всех мелких масштабах и суммирование полученных значений для верхнего масштаба. Модель Колмогорова описывает реальную картину течения жидкости.
Ошибка в численных методах решения находится в самом их теоретическом основании. Решается модель с физическим процессом, не описывающим течение на пространстве R3, для каждой ячейки сетки и затем получения результата расчета для всей сетки, а следовательно и для пространства R3. То есть к решению на пространстве R3 в численном методе применяется некорректная физическая модель, которая не описывает процессов на пространстве R3.
Доказательство отсутствия решения уравнений Навье-Стокса на пространстве
R
3 на основанииприменения теоремы Курта Гёделя о неполноте
Для решения проблемы используем теорему Курта Гёделя о неполноте. Теорема Гёделя приведена в работе [7].
Система уравнений и в том числе система уравнений Навье-Стокса является формальной системой. Как известно, в пределах формальной системы существуют вопросы, на которые в пределах этих систем нельзя найти ответа.
Считаем, что система уравнений Навье-Стокса является непротиворечивой. Из этого следует, что ответить на возможность или не возможность решения для пространства R3 в рамках данной системы нельзя. Для ответа необходимо выйти за пределы системы – в расширенную систему. И в рамках расширенной системы можно решить проблему о наличии или отсуствии решения уравнения Навье-Стокса для пространства R3. Выполним эту задачу. А результат будет доказательсвом и решением задачи тысячалетия (задача тысячалетия в формулировке института Клея).
Рассматривая модель турбулентности, предложенную Колмогоровым,как единую систему, выстроим иерархию этой системы. Нижний уровень обозначим базовой системой, верхний уровень обозначим расширенной системой.
Вывод уравнений Навье-Стокса был выполнен для базовой системы, для кубического элемента. Все предпринятые ранее разными авторами попытки решения уравнений Навье-Стокса являлись попыткой получить решение для расширенной системы средствами базовой системы.
В решении численным методом на расчетной сетке в компьютерной программе происходит решение для базовых систем, которыми являются ячейки расчетной сетки. Затем по решению для ячеек находится решение для все сетки, то есть для расширеннной системы. Решением для всей сетки является интегральный уровень.
Решение в расчетной сетке обеспечивает правильность соблюдения решения по иерархии системы.
Но решение по расчетной сетке не обеспечивает корректность физической стороны процесса турбулентного течения. Так как уравнения Навье-Стокса справедливы для элементарного объема, как указывалось ранее. А для пространства R3 требуется решать систему уравнений, учитывающую физические явления, которые не учитывались при выводе уравнений Навье-Стокса.
Для корректности численного расчета в расчетный аппарат компьютерной программы требуется ввести систему уравнений, описывающую иерархический переход энергии от вихрей крупного масштаба к более мелким и последующую диссипацию энергии за счет сил вязкого трения.