2. Принцип соответствия Бора
Сравним набор большого числа фиктивных атомов, которые подчиняются классическим законам, с набором такого же числа реальных квантованных атомов. Если нам известно, как движутся электроны в атомах первого типа, то мы знаем, как вычислить частоты, интенсивности и поляризацию испускаемого излучения. Теперь, воспользовавшись этими результатами, попытаемся выяснить, каковы частоты, интенсивности и поляризация излучения, испускаемого реальными атомами. Если бы мы ничего не знали об этих последних, то не существовало бы никаких средств решения этой задачи. К счастью, нам известны значения частот, излучаемых квантованными атомами. Они даются правилом Бора.
Таким образом, первое, что приходит в голову – это сравнить боровские частоты с теми, которые испускали бы фиктивные атомы согласно классической теории. Если такое сравнение проделать, то оказывается, что в общем случае между этими двумя категориями частот не существует простого соотношения. Других же путей для дальнейшего продвижения в нужном направлении мы не видим.
Именно здесь и проявилась изобретательность Бора. Он заметил, что электромагнитная теория всегда – очень хорошее приближение для описания явлений макроскопического масштаба. С квантовой же точки зрения макроскопические явления это те, в которых играют роль большие квантовые числа. Поэтому кажется вероятным, что результаты квантовой теории должны асимптотически стремиться к классическим в области больших квантовых чисел. В этой области и следует искать согласования двух рассматриваемых теорий. А так как мы знаем, как вычислять и классические, и квантовые частоты, то нужно прежде всего выяснить, совпадают ли эти частоты для случая стационарных состояний, отвечающих большим квантовым числам.
Рассмотрим теперь одну из внешних электронных траекторий квантового атома, соответствующую большому квантовому числу. Одновременно рассмотрим такую же траекторию электрона в фиктивном классическом атоме. В классическом атоме электрон непрерывно испускает целый набор частот, кратных определенным основным частотам, которые определяются движением электрона. В квантовом атоме электрон в стационарном состоянии не излучает, но он может совершать переходы, при которых произойдет излучение с частотами, определенными правилом Бора.
Оказывается, что каждой частоте, фигурирующей в классической теории фиктивного атома, соответствует определенный переход квантового атома, который приводит к испусканию излучения той же частоты. Таким образом, в области больших квантовых чисел существует хорошее согласие между частотами излучения, испускаемого по классическим законам, и частотами, которые может излучать в процессе перехода квантовый электрон. Но в то время как классический атом испускает все частоты, о которых идет речь, непрерывно и одновременно, квантовый атом может испускать при каждом отдельном акте излучения лишь одну из них. Правда, это глубокое различие механизмов испускания не мешает совпадению результатов: два мысленно сравниваемых ансамбля атомов будут испускать (в области больших квантовых чисел) одинаковые спектральные линии.
Подтвердив таким образом одинаковость предсказаний классической и квантовой теории в отношении частот при больших значениях квантовых чисел, Бор допустил, что предсказания классической теории в отношении интенсивностей и поляризации излучения ансамбля фиктивных атомов, по крайней мере в этой области, будут справедливы для ансамбля реальных атомов. В случае реальных атомов испускание спектральных линий происходит при отдельных переходах между квантованными состояниями. Интенсивность спектральной линии будет при этом зависеть от среднего числа атомов ансамбля, совершающих в единицу времени соответствующий переход, т е. от вероятности того, что каждый квантовый атом совершит в единицу времени упомянутый переход. Если предположить, следуя Бору, интенсивность данной спектральной линии, испущенной вторым ансамблем, равной вычисленной классически интенсивности той же спектральной линии для первого ансамбля, то это позволит нам оценить с помощью формул электродинамики вероятность данного квантового перехода.
Таким образом, нам удалось решить, по крайней мере для больших квантовых чисел, проблему вычисления интенсивности спектральных линий. Единственное, чего недоставало в первоначальной теории Бора, чтобы проделать это вычисление, – метод оценки вероятности квантового перехода. Идея установления соответствия между каждым из этих квантовых переходов и спектральными составляющими классического излучения привела в рассматриваемом асимптотическом случае к простому и строгому правилу оценки вероятностей перехода. Естественно по аналогии предположить поляризацию реально излучаемых спектральных линий совпадающей с поляризацией, полученной на основе классической теории, чтобы полностью решить вопрос и о поляризации.
К сожалению, этот замечательный способ согласования несовместимых на первый взгляд представлений, нужных для дополнения квантовой теории, имел значение только для области больших квантовых чисел. Практически же для теории атома эта область представляет наименьший интерес, так как, за исключением некоторых очень редких случаев высокого возбуждения, электроны в атоме находятся в стационарных состояниях, соответствующих гораздо меньшим значениям квантовых чисел, и обычные спектральные линии испускаются при переходах именно между такими состояниями. Поэтому для атома в начальном состоянии до перехода или конечном состоянии после перехода между реальными квантовыми частотами и частотами, вычисленными по классической теории, нет простого соотношения. Бор тем не менее смело предположил, что для приближенного вычисления реальной интенсивности и поляризации можно пользоваться классическими оценками интенсивностей и поляризаций, экстраполируя на область малых квантовых чисел соответствие, установленное для больших квантовых чисел. Мы не можем здесь детально объяснить, как Бор пытался уточнить вид этого принципа соответствия. Заметим лишь, что он взял некие средние значения классических величин, вычисленных для группы состояний (нестационарных), промежуточных между начальным и конечным стационарными состояниями, соответствующими данной спектральной линии. Хотя сформулированный таким образом принцип соответствия и привел к интересным и, вообще говоря, точным результатам, создается впечатление, что его вывод носит несколько искусственный характер и что в рамках старой квантовой теории невозможно найти его окончательной формулировки. В рамках новой механики было получено выражение, которое оказалось более обоснованным.
Однако важность выдвинутой Бором идеи скоро подтвердилась. Мысль о том, что электромагнитная теория, оказавшаяся, строго говоря, неверной, сохраняет важную направляющую роль и, подобно нити Ариадны, ведет нас к дальнейшему пониманию истинных квантовых законов элементарных частиц, оказалась весьма плодотворной. Она послужила основой формулировки настоящего метода соответствия, и ученики Бора, полагаясь на этот метод и проникнутые, по словам Гейзенберга, духом Копенгагена, сумели продвинуться вперед по этому пути и сделать замечательные открытия.
3. Некоторые приложения принципа соответствия
Принцип соответствия позволяет, по крайней мере приближенно, вычислить интенсивности различных линий нормальных спектров, а также спектров, измененных эффектами Штарка и Зеемана. Результаты таких вычислений оказались в хорошем согласии с экспериментом.
Одним из самых важных применений этих расчетов интенсивности было исследование спектральных линий, которые существуют по правилу частот Бора, однако испускаются с нулевой интенсивностью, т е. фактически отсутствуют в наблюдаемом спектре. Остановимся на этом подробнее. Если известны все стационарные состояния и, следовательно, все спектральные термы атома, то, попарно комбинируя согласно правилу Бора эти термы, мы получаем все линии спектра, которые может излучать этот атом. Если же сравнить полученные таким образом таблицы линий с таблицами реально наблюдаемых спектров, то оказывается, что не все вычисленные теоретически линии испускаются в действительности. Иными словами, комбинированием спектральных термов можно предсказать все частоты реального спектра. Обратное же утверждение неверно, ибо в реально наблюдаемой картине спектра не всегда представлены все комбинации спектральных термов.