Михаил М.:
Господа, вычислимости-невычислимости, сложности и т.д. отражают устройство реального мира. В программировании конструктивистская математика имеет практически прикладное значение, хотя бы как стоппер для химерических проектов. Важны также ее мировоззренческие результаты. Приятно сознавать какие мы умные — в части вычислений любая сверхцивилизация относительно нас может иметь только количественные преимущества. С другой стороны, у нас тоже только количественные преимущества по сравнению с менее развитыми существами начиная с некоторого достаточно низкого порога. В алгоритмических системах таким порогом является возможность написания в этой системе универсального алгоритма, т.е. интепретатора алгоритмов этой системы, возможность создания алгоритма, «понимающего» все другие алгоритмы (в том числе и себя). Для людей потенциальная неограниченность интеллектуальных достижений также, видимо, появляется с возможностью понимать себя и других. Например, осознавать, когда ты переключаешься с математики на риторику. Дальше ограничения только по быстродействию, памяти, закачиванию в голову нужных данных и алгоритмов.
В.Н. Левин, Вы пишите: «Следовательно, ПРЕДСТАВИТЬ ВСЕ простые числа одним набором НЕЛЬЗЯ!» В нормальных терминах утверждение звучит так: не существует алгоритма перечисления простых чисел, т.е. А(n) выдает n―е простое число, если оно есть. Утверждение опровергается предъявлением такого алгоритма. Можете сами его написать. Вообще какие могут быть разговоры о двойном отрицании и неконструктивности, когда есть алгоритм порождения объектов, куда уж конструктивнее. А на гиптезу о конечности простых чисел Евклид вообще одинарное отрицание вешает.
В.Н. Левин:
EEV, Вы пишите мне: «Вы использовали лишнюю сущность, а именно понятие “набора”, даже не потрудившись ее определить. Поэтому вывод некорректен». EEV, Вы не разглядели в термине «набор» первичного понятия МНОЖЕСТВА.
Михаил М., так где же Ваше «легкое» конструктивистское доказательство БЕСКОНЕЧНОСТИ множества простых чисел? Или ссылка на обучение под началом Маркова кажется Вам достаточной? Вы пишите: «А на гипотезу о конечности простых чисел Евклид вообще одинарное отрицание вешает». Неужели одинарное? Он пытается идти методом «от противного». Мол, представим, что истинно «А» (множество простых чисел конечно). Далее пытается НЕЯВНО ввести определение понятиям КОНЕЧНОСТИ-БЕСКОНЕЧНОСТИ, неявно противопоставляя их друг другу и предполагая, что «третьего не дано». Вы сами писали: «Основное отличие от классической логики — отказ от аксиомы, разрешающей автоматически снимать двойное отрицание. То есть в конструктивной математике “ложно, что ложно” еще не означает “истинно”, “не может не быть объекта” с какими-то свойствами еще не значит, что такой объект есть, и с ним можно что-то делать дальше. Отсюда следует отказ от безусловной истинности закона исключенного третьего — “суждение либо ложно, либо истинно”, “либо объект есть, либо его нет”». В конструктивной математике для снятия двойного отрицания необходимо указать «способ» построения объекта, для истинности суждений вида «исключенного третьего» необходимо указать способ определения какая именно из альтернатив верна «ложно» или «истинно». Вы можете возразить, мол, Евклид указывает способ построения объекта. Но разве как раз того объекта, который прямо указывает какая из «альтернатив» верна, т. е. объекта “БЕСКОНЕЧНОЕ множество простых чисел”? Отнюдь нет. Он способа построения ЭТОГО объекта (БЕСКОНЕЧНОГО множества) не приводит. Он лишь обнаруживает отрицание предположения о возможности представить КОНЕЧНОЕ множество простых чисел. Это отрицание, в парадигме конструктивистской математики, означает отсутствие способа получения такого объекта как КОНЕЧНОЕ множество всех простых чисел.
ИТОГО:
1.Нет способа получения объекта «КОНЕЧНОЕ множество всех простых чисел».
2. Нет способа получения объекта «БЕСКОНЕЧНОЕ множество всех простых чисел».
Так где же Ваше легкое конструктивистское доказательство?..
Конструктивистская Машина Тьюринга— Поста в качестве исходных аксиом имеет неконструктивистскую аксиому о бесконечном быстродействии процессора, бесконечной длине ленты, на которой записываются исходные, промежуточные данные и результаты расчетов, бесконечном размере памяти для записи (хранения) алгоритма. Если заменить эту аксиому на тезис о конечности характеристик машины Тьюринга— Поста, то мы получим БОЛЕЕ конструктивистскую теорию, для которой становятся актуальными тезисы:
К Гипотезе 1.
О конечности количества простых чисел.
Фактически это гипотеза о конечности мира, о конечности числа чисел вообще.
К Гипотезе 3.
О симметричности распределения простых чисел в ряду целых чисел.
Первые простые числа идут подряд друг за другом: 1, 2, 3. (1 ПРИНЯТО к простым числам не относить. При этом неотнесение 1 к «простым» числам является условным; основной части определения простого числа (неделимости на все числа кроме себя и единицы) единица удовлетворяет).
В парадигме конструктивистской математики можно утверждать:
Тезис 1. Для достаточно большого целого числа НЕВОЗМОЖНО проверить (доказать) свойство его делимости на любое другое число, кроме самого на себя, следовательно, мы должны считать его простым ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. В этом смысле, ВСЕ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИЕ ЧИСЛА — ПРОСТЫЕ, не делимы ни на одно число, кроме самих себя. В частности, они, в этом смысле, также идут подряд как и ПЕРВЫЕ простые числа, что соответствует Гипотезе 3 Шилова.
Тезис 2. Для любых двух достаточно больших целых чисел невозможно проверить (доказать) их отличие друг от друга, т. е. мы должны по определению считать их РАВНЫМИ друг другу.
Отсюда следует:
Тезис 3. (Расширенная Гипотеза Шилова)
Множество целых чисел конечное, но открытое. Последние из них недостижимы человеческим счетом, равны друг другу (неотличимы друг от друга) и являются простыми.
Более того, истинны утверждения, что для достаточно больших чисел ОТСУТСТВУЮТ способы:
1) их записи (хранения) в памяти машины Тьюринга,
2) их сравнения друг с другом на предмет установления их равенства-неравенства,
3) их перемножения друг с другом,
4) прибавления к ним единицы.
EEV:
В.Н. Левин, Вы пишите мне, что я не разглядел в термине «набор» первичного понятия МНОЖЕСТВА. Математики при изучении доказательства вообще не должны ничего разглядывать. Если Вы хотите сказать «множество», то и говорите «множество», не заставляя никого ничего «разглядывать». Ну так что — где ответ на мое возражение? Заменяете слово «набор» словом «множество»? Или нет?
С. Шилов:
Валентин Николаевич, у меня, с учетом Ваших блестящих конструктивистских интерпретаций принципа конечности простых чисел, которые (интерпретации) сами по себе аксиоматически закладывают тип математики, есть такой полезный вопрос: какова может быть конструктивистская интерпретация (формализация) принципа делимости на ноль как некоторой альтернативы счета (точнее — счет является субъективной альтернативой делимости на ноль)? — как конструктивистски записать переход (формулу перехода? — как интерпретацию формулы Единицы «единица есть множество простых чисел») от 10 к 1 / 0 , вывернуть, так сказать, десятичную систему наизнанку хранящейся в ее «подсознании» истины, о которой она постоянно свидетельствует в десятичных дробях и т.д., но не может использовать собственное свидетельствование?
Следующее. Конечно-конструктивистская машина универсального алгоритма (вспомним дискуссию о троичном коде «ноль — единица — простое число») может быть основой трансформации того, что Хайдеггер называл «сущностью техники», и того, что он называл одним словом — ПОВОРОТ.
Михаил М.:
В.Н. Левин, я искренне пытаюсь понять Вашу точку зрения и Ваши базовые предпосылки. Присоединяюсь к недоумению EEV относительно удовлетворяющих Вас конструктивных способов описания, задания, «получения» множеств. И множества у Вас уже стали непредставимы в виде множеств... Если для Вас недостаточно иметь алгоритм перечисления всех элементов множества, то какие же представления множеств Вам нужны? Как говорят в американских банках какими «биллами» (купюрами) Вы желаете иметь Ваши деньги? Как Вы вообще рассуждаете о каком-то множестве, если для оно для Вас непредставимо? Я, например, так не могу. Мне, чтобы начать исследование конечности, бесконечности, других свойств множества, сначала надо иметь его описание, желательно конструктивное каким-то алгоритмом, хотя не для всех множеств это возможно. Может быть, Вам мешает вот это Ваше утверждение: «Конструктивистская Машина Тьюринга—Поста в качестве исходных аксио, имеет неконструктивистскую аксиому о бесконечном быстродействии процессора, бесконечной длине ленты, на которой записываются исходные, промежуточные данные и результаты расчетов, бесконечном размере памяти для записи (хранения) алгоритма». Должен поправить, скорость работы для машин Тьюринга не оговаривается, может быть и сколь угодно малой. У машин Тьюринга лента является единственным видом памяти, нет особой памяти для хранения алгоритмов, Алгоритм каждой машины Тьюринга намертво «зашит» в ее устройстве и, разумеется, конечен. От ленты требуется не актуальная бесконечность, а возможность наращивать по мере необходимости (потенцальная бесконечность). Т.е. концепция Тьюринга вполне конструктивна с житейской точки зрения — конечное устройство работает с конечным устройством памяти (лентой), если памяти не хватает, то приостанавливаемся, наращиваем память, продолжаем вычисления и т.д., либо до завершения вычислений, либо вечно. Вы также пишите: «Более того, истинны утверждения, что для достаточно больших чисел ОТСУТСТВУЮТ способы: 1) их записи (хранения) в памяти машины Тьюринга, 2) их сравнения друг с другом на предмет установления их равенства-неравенства, 3) их перемножения друг с другом; 4) прибавления к ним единицы». Поосторожнее, целые числа определяются индуктивно прибавлением единицы к предыдущему числу. Так у Вас и множество целых чисел окажется конечным какие уж доказательства при таких предпосылках.