Андрей Св., Вы пишите: «Не нужно быть профессиональным программистом, чтобы понять как устроена и работает традиционная машина Тьюринга. Вот я и спрашиваю как устроена и как работает машина Тьюринга с конечными характеристиками? А если она устроена и работает точно так же, то для чего она нужна в таком случае?».
Наша с Левиным КОНЕЧНАЯ МАШИНА («более мощная», чем машина Тьюринга) — это МАШИНА, ЛЕНТОЙ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ЛЕНТА МЁБИУСА. Такая машина будет способна выполнять троичный код «ноль — единица — простое число», переход от ЛОГИКИ («ноль—единица») к РИТОРИКЕ («ноль—единица—простое число»), переход от «да—нет» к «да—нет—суждение». Это и так называемая машина искусственного интеллекта, и принцип машины времени (суть которой не путешествия во времени, а моделирование-производство времени).
В.Н. Левин:
Сергей Шилов, продолжая думать над Вашим вопросом о смысле деления на НОЛЬ, я обращаю внимание на неоднозначную природу понятий «умножение» и «деление» в математике.
Укажу ТРОЙНУЮ природу УМНОЖЕНИЯ.
Его двойная природа видна сразу.
С одной стороны, умножение происходит из практического СЛОЖЕНИЯ как операция над МНОЖЕСТВАМИ, имеющими одинаковое число элементов.
При этом сомножители принципиально НЕОДНОРОДНЫ: один из них указывает число элементов в каждом из рассматриваемых множеств, другой — число множеств.
С этой стороны, умножение предполагает ОБЪЕДИНЕНИЕ множества множеств в ОДНО множество, число элементов которого и объявляется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ.
С другой стороны, умножение предполагает непростое, РАЗДЕЛЁННОЕ существование совокупности элементов, численность которой определяется умножением, т. е. оно предполагает ДЕЛЕНИЕ как свершившийся факт, притом неважно, было ли в реальности РАЗДЕЛЕНО некоторое изначально ЦЕЛОЕ множество, либо множества, изначально обособленные, впервые сводятся в ЕДИНОЕ.
С этой стороны умножение есть операция, обратная ДЕЛЕНИЮ, происходит от ДЕЛЕНИЯ.
Грубо говоря, первыми «практическими» математическими операциями были:
СЛОЖИТЬ — ОТНЯТЬ — ПОДЕЛИТЬ.
И в этой «первобытной» математике деление на НОЛЬ было нормальной операцией как операция рассмотрения объекта принципиально ЦЕЛЫМ, неделимым на части (имеющим НОЛЬ частей), т. е. не отдаваемым НИКОМУ, оставляемым в ОБЩЕЙ СОБСТВЕННОСТИ.
От ДЕЛЕНИЯ возникает и идея ДРОБНОГО (нецелого) числа.
Умножение исторически возникло гораздо ПОЗЖЕ.
За ним стоит, например, практика пересчета ВОЙСКА, разбитого на десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч.
Третья природа умножения как и вторая, предполагает ДЕЛЕНИЕ свершившимся фактом и связана с практикой брать из поделённого множества избранную часть.
Например, мы разделили НЕЧТО на троих и Я беру себе ТРЕТЬЮ часть.
Здесь идея дробного числа совмещается с идеей СОМНОЖИТЕЛЯ.
Возникает умножение на дробное число.
Войдя в математическую практику, УМНОЖЕНИЕ, благодаря, видимо, первой природе (от СЛОЖЕНИЯ), стало определяться математиками до деления.
Мол, деление — операция, обратная к умножению.
Отсюда сложилась ДВОЙНАЯ природа ДЕЛЕНИЯ.
Первая природа указана в сообщении, который Вы процитировали, — практика деления объекта на заданное количество ЧАСТЕЙ.
Здесь деление на НОЛЬ естественно: оно есть рассмотрение объекта как «не имеющего частей» как НЕДЕЛИМОГО как подобия простого числа.
Употребление в какой-либо логической нотации выражения
Р = N/0,
где N — произвольное число, можно интерпретировать как определение (провозглашение) для последующих рассуждений, что Р — (некоторое) простое число.
Существенным моментом «практического деления» становится то, что делитель всегда является ЦЕЛЫМ числом.
Вторая природа математической операции «деление» коренится в сугубо ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ и унификационно-теоретической практике МАТЕМАТИКОВ.
Обнаружив, что деление в первом смысле («практическое») дает тот же результат, что и операция, обратная УМНОЖЕНИЮ, математики приняли решение: заменить понятие «практическое деление» понятием «теоретическое деление» как операция нахождения сомножителя по произведению и второму сомножителю.
Благодаря этой подмене, математики экстраполировали понятие ДЕЛЕНИЯ на сугубо теоретическую операцию деления на ДРОБНОЕ число как на операцию нахождения сомножителя, умножение которого на данное дробное дает заранее заданное число-произведение.
Из этой экстраполяции возникает вопиющее расхождение разных интерпретаций случая деления на НОЛЬ.
Первая интерпретация указана выше.
Вторая такова: деление на НОЛЬ есть поиск такого числа (сомножителя), умножение которого на НОЛЬ даст ДЕЛИМОЕ.
И тут математики попали в ситуацию ПАРАДОКСА:
Ведь умножение любого числа на НОЛЬ в свете третьей природы умножения означает взятие НИКАКОЙ части, т. е. даст результатом НОЛЬ, а вовсе не заданное ДЕЛИМОЕ.
Столкнувшись с этим парадоксом, математики, вместо выявления и учета МНОЖЕСТВЕННОЙ природы умножения, вводят ЗАПРЕТ деления на НОЛЬ.
Интересен ещё один момент.
Наблюдая, что при стремлении дробного числа, используемого в качестве ДЕЛИТЕЛЯ, к 0, частное неограниченно увеличивается, математики ввели в употребление понятие актуальной бесконечности как того числа, к которому как к пределу стремится частное при стремлении делителя к 0.
Отсюда возникла идеализация:
N/0 = БЕСКОНЕЧНОСТЬ.
Итак, эклектическое сведЕние разных природ ДЕЛЕНИЯ и УМНОЖЕНИЯ в одну и ту же теоретическую конструкцию привело к трем интерпретациям деления на НОЛЬ:
1. N/0= Р (простое число)
2. N/0 = НИКАКОЕ ЧИСЛО (другая трактовка: операция с неопределенным результатом, ЗАПРЕЩЕННАЯ операция).
3. N/0 = БЕСКОНЕЧНОСТЬ.
В свете ранее предложенных нами гипотез о конечности числа простых чисел, указанная множественность трактовок ПРЕОДОЛЕВАЕТСЯ:
«БЕСКОНЕЧНОСТЬ» на самом деле есть достаточно большое число, которое по определению оказывается ПРОСТЫМ.
В заключение — пара слов о ПРИМЕНИМОСТИ аксиоматики «конечной машины», или «конечной математики», если можно назвать так математику, исходящую из гипотез Шилова.
Пусть Р — достаточно большое целое число.
Согласно гипотезе Шилова, мы можем записать как истинное следующее утверждение:
Р + 1 = Р
Это парадоксальное на первый взгляд утверждение, является в действительности одной из аксиом МАССОВОЙ практики.
Примеров тьма.
Во-первых, это утверждение как аксиома лежит в основе поведения избирательного электората: «Мой голос ничего не решает», мол, прибавление МОЕЙ единицы результата не изменит.
Во-вторых, это утверждение истинно в отношении практически к любому показателю ОФИЦИАЛЬНОЙ статистики.
Серьезная попытка пересчитать («проверить») любой статистический показатель выявит «неучтенные» либо «приписанные» слагаемые, так что в итоге непонятно какой из вариантов числа истинен.