С 1994 по 2000 год А. И. Бычков являлся председателем Костромской областной думы первого и второго созывов. Под его руководством происходило становление этого органа государственной власти, было разработано 192 региональных закона, в том числе Устав (Основной закон) Костромской области. В Государственную думу Федерального собрания РФ внесено более 30 законопроектов.
В юбилейном выступлении А. И. Бычкова перед депутатами областной думы в марте 2004 года отмечалось, что отчетный период был началом современного законодательства в Костромской области и Российской Федерации в целом. Перед первыми 15 депутатами стояла задача, сжатые сроки сформировать структуру нового органа власти, его функции, определить направления деятельности. Необходимо было выстроить отношения с исполнительными органами власти, разграничить полномочия с федеральным центром, определить место законодательного органа и его депутата в системе органов власти, подобрать аппарат областной думы. Кроме того, предстояло выбрать глав местного самоуправления. Решить все эти вопросы надо было безотлагательно. К трудностям относилось отсутствие опыта в строительстве местного управления, не было методической помощи из центра. Общая ситуация была сложной, так как возникла угроза распада страны в условиях так называемого «парада суверенитетов». На первом заседании был избран председатель и заместитель председателя, а несколько позднее созданы четыре постоянные комиссии: по региональному законодательству (В. П. Ижицкий), экономической реформе, бюджету и налоговой политике (Ю. А. Марычев), социальной политике (А. Д. Крылов), мандатная комиссия (Г. П. Жолобова); сформирован аппарат из десяти чел.
За десятилетний период существования областной думы были приняты основополагающие законодательные акты, создана областная правовая база. Кроме Устава области были разработаны и приняты Избирательный кодекс, Кодекс о референдумах, законы о «Статусе депутата», «Об областной думе», «О законодательном процессе в Костромской области», а по вопросам местного самоуправления — «О местном самоуправлении в Костромской области». Принимаются законы, направленные на поддержку предпринимательства («Об инвестиционной деятельности», «О государственной поддержке предпринимательства в Костромской области», «О бюджете развития в Костромской области»), а также региональные программы социально-экономического развития.
В сфере экономики и финансов областная дума осуществляла текущую деятельность. Принимаются законы в сфере налогового и бюджетного регулирования, по проблемам, касающимся областной собственности. Наиболее важными можно назвать законы «Об основах финансовой системы в Костромской области», «О нормативах минимальной бюджетной обеспеченности», «Об областном бюджете» и о региональных налогах.
Костромской регион всегда испытывал трудности с доходной частью бюджета. В связи с этим председателю вместе с депутатским активом приходилось идти на непопулярные меры. Были приняты законы «О дорожном фонде Костромской области», «О налоге с продаж», «О транспортном налоге», «О едином налоге на вмененный доход». Важную роль в их разработке сыграли депутаты, которые, несмотря на противоречия, вникали во все сложности, грамотно и квалифицированно принимали решения, никогда не уходя от острых проблем.
В 1996–2001 годах А. И. Бычков — член Совета Федерации от Костромской области, с 1998 года — заместитель председателя Комитета по бюджету, финансовому, валютному и кредитному регулированию, денежной эмиссии, налоговой политике и таможенному регулированию и председатель подкомитета по налоговой политике. При его участии Комитетом были рассмотрены и приняты сотни федеральных законов, в том числе Налоговый, Таможенный и Бюджетный кодексы, составляющие основу финансовой системы Российской Федерации. Активно работая в составе согласительной комиссии над законами о федеральном бюджете в 1999–2001 годах, А. И. Бычков проявлял настойчивость в отстаивании интересов Костромской области.
Занимая должность вице-президента Межрегиональной ассоциации экономического взаимодействия субъектов Федерации «Центральная Россия», А. И. Бычков последовательно проводил политику экономической интеграции регионов, развития и укрепления связей со странами СНГ, Республикой Беларусь.
В 2001–2005 годах А. И. Бычков являлся депутатом областной думы третьего созыва, председателем постоянной комиссии по бюджету, налогам, банкам и финансам, регулярно встречается с избирателями. С 2005 года — председатель Костромской областной думы четвертого созыва.