А. Г. Приклонский являлся сыном отставного гвардии прапорщика Г. П. Приклонского (1766 — не ранее 1835) род которого был внесен в VI часть дворянской родословной книги по Воронежской (01.01.1798) и Рязанской (05.11.1807) губерниям. Военную службу он начал унтер-офицером Тамбовского пехотного полка (26.03.1808), а звание прапорщика и орден Святого Георгия IV степени (23.06.1810) получил во время русско-турецкой войны (1806–1812) за отличие при штурме Базарджика и пленении сераскира Пек-леван-паши (22.05.1810). Принимал участие также во взятии Коварны (26.05.1810), Бельчика (27.05.1810) и Никополя (17.09.1810) и в сражениях под Варной (30.05.1810), Козлуджи (01.06.1810), Янибазаром (07.06.1810), Шумлой (11–12.07.1810) и Батином (16.08.1810) в Молдавии и Валахии. Затем был участником Отечественной войны и сражений при Кобрине (15.07.1812), Городечно (31.07.1812), Березине (16.11.1812), участником взятия Вильны (01.12.1812) и заграничного похода и сражений при Кенигсварте (07.05.1813), Бауцене (08–09.05.1813), Кольберге (11.08.1813), Гиннерсдор- фе (14.08.1813), Ливенберге (17.08.1813), Дрездене (23.09.1813), Веймаре (26.09.1813), Франкфурте (09.11.1813), JIa-Бриенне (17.01.1814) и Ла-Ротье- ре (20.01.1814) и взятия Парижа (18.03.1814), причем за отличие в Березинском сражении удостоился звания подпоручика и ордена Святой Анны IV степени, при Ливенберге — звания поручика, при Ла-Ротьере — ордена Святого Владимира IV степени с мечами и бантом и серебряной медали за взятие Парижа. В сражении при Бауцене получил контузию в грудь и до конца войны оставался адъютантом командира 6-го пехотного корпуса.
После войны в чине поручика (05.05.1814), штабс-капитана (26.01.1816) и капитана (26.12.1816) лейб-гвардии Московского полка служил адъютантом его командира, а в отставку вышел в чине полковника 1-го Егерского полка (24.02.1820).
В отставке он оставался 7 лет, пока не то из патриотизма, не то от безденежья не поступил в жандармский корпус (01.03.1827), где быстро освоился и обратил на себя внимание начальства. В одном лишь 1829 году в формуляр А. Г. Приклонского были внесены благодарность шефа жандармов «за усердие» и высочайшие благоволения «за отлично ревностное служение» и «за благоразумные действия по службе». Через 3 года — новая волна благодарностей и благоволений, так что следующая ступень его карьеры была предопределена.
Будучи костромским губернатором (15.08.1833-25.12.1838), во время визита императора Николая I А. Г. Приклонский удостоился ордена Святого Владимира II степени (09.10.1834) и высочайшего удовольствия за успешное взыскание податей (16.04.1835). И, действительно, при нем были учреждены губернские строительная и дорожная (08.05.1834) и продовольственная (03.11.1834) комиссии и статистический комитет (20.04.1835), открыты Лухское (1834), Парфентьевское (1835), Ветлужское (1836), Судиславское (1836), Буйское (1837), Варнавинское (1837) приходские и Кологривское (1834), Буйское (1838) уездные училища, Мариинская женская гимназия в Нерехте (30.04.1838), построены торговые ряды в Нерехте (1836) и присутственные места в Чухломе (1837), начали выходить «Костромские губернские ведомости» (08.01.1838), но запомнился он другим.
Граф М. Д. Бутурлин (1807–1876) впоследствии вспоминал: «В нашей же Костромской губернии носился слух, что тогдашняя губернская власть будто бы открыто регулировала взяточничество, обложив исправников городовым якобы взносом». По свидетельству писателя Н. П. Макарова (1810–1890), «в середине тридцатых годов сидел на костромском губернаторстве некто Приклонский. Это был, если хотите, человек вовсе не свирепый, а напротив, очень и очень добрый, кроткий, мягкий, благодушный. Кодекс его административной деятельности состоял из единственного правила: “Всякое деяние благо, и всяк дар совершен”. Поэтому он не гнушался никакими даяниями и дарами, будь это тысячи, сотни, красненькие, синенькие, все хорошо, все давай сюда. Говорили, что раз, а может быть, и не раз от одной бабы он милостиво принял прошение… виноват, не то: “сотню яиц”, а по словам других — полсотни…»
Промелькнул Приклонский и в автобиографическом романе А. Ф. Писемского «Люди 1840-х»: «Когда вскоре после того губернатор и полицмейстер проезжали мимо гимназии, Павел подговорил товарищей и все они в один голос закричали в открытое окно: “Воры, воры!”, так что те даже обернулись, но слов этих, конечно, на свой счет не приняли».
Купив сельцо Скородумки и 30 крестьян в Костромском уезде и деревню Лаврово вместе с жителями в Нерехтском уезде, А. Г. Приклонский с женой Надеждой Николаевной, урожденной Нееловой (?-04.05.1859) и детьми Варварой (29.10.1829-?), Иваном (25.05.183I-?) и Николаем (26.05.1835-?) сделались еще и костромскими дворянами (13.11.1839). Вместе с женой А. Г. Приклонский и похоронен на Ваганьковом кладбище в Москве.