9 октября 1813 г. судно покинуло Кронштадт, загрузилось в Портсмуте (Англия) и направилось в Бразилию, куда прибыло в апреле 1814 г. Сделав необходимые починки и закупки и получив радостное известие о вступлении русской армии во главе всех союзных войск в Париж, «Суворов» в мае ушел из Рио-де-Жанейро и направился в Сидней. Переход в Австралию оказался на редкость трудным и неспокойным и занял почти три месяца. Сам Лазарев не оставил сочинений с описанием своих плаваний. О его впечатлениях ныне известно лишь из его писем и отчетов, которые хранятся в архивах «Русских флотоводцев» и частично опубликованы в книге «Документы» (М.: Воениздат, 1952–1961).
Первые впечатления об Австралии, описанные Унковским: «Развернувшаяся перед моряками панорама даже с борта корабля казалась земным раем. Утопая в зелени, лепились миниатюрные домики. Тысячами порхали звонкоголосые птицы разных окрасок… А на заднем плане рисовались в легкой дымке вершины Голубых гор. Живительный, напоенный ароматами воздух недаром создал славу здешнему климату, как одному из лучших в мире». В Австралии еще не знали о полной победе над Наполеоном. «Суворов» первым возвестил о ней. Радостная весть быстро разнеслась по городу. Люди ликовали и поздравляли друг друга. В честь русских побед загремели крепостные орудия. Большая толпа народа на берегу приветствовала русских офицеров и матросов. Сходящих на берег почти насильно заставляли выпить, повторяя слова: «Русский — добро, француз — нехорош». Пошли обеды, банкеты, приемы, вечера в таком количестве, что Лазарев вынужден был иногда отклонять приглашения, говоря, что ему нужно привести корабль в порядок. Тогда ему прислали лучших конопатчиков и столяров. Обходя морем вокруг Австралии, «суворовцы» вели гидрографические и картографические работы, а на берегу производили астрономические наблюдения, во время которых познакомились с любопытными аборигенами. Описание колонии, этнографические заметки и коллекции, сделанные русскими в то время, по мнению ученого Г. Барратта, до сих пор мало известны в Австралии, но имеют историческую и научную ценность. Так, например, А. Российский рассказывает о страшном зрелище «боя аборигенов», который устраивался для развлечения публики. Он же описывает торговые сделки между сиднейцами и моряками с «Суворова» и указывает на выгоды торговли между Камчаткой и Австралией.
15 сентября 1814 г., проведя три недели в стране, которая, по предсказанию Унковского, «со временем сделается одним из богатейших селений англичан», «Суворов» покинул Сидней. Празднично одетые зрители провожали русский корабль.
В конце сентября в открытом океане команда корабля обнаружила птиц — верный признак близкой земли. Но на картах никакой земли в этом районе не значилось. Вскоре увидели сушу. С большими трудностями были обследованы коралловые острова, представлявшие величайшую опасность для мореплавателей. Была составлена их карта. Так были открыты острова Суворова.
В июле 1819 г. русское правительство отправило сразу две научные экспедиции для исследования приполярных областей Северного и Южного полушарий. На север были посланы шлюпы «Открытие» и «Благонамеренный» под командованием капитан-лейтенантов М. Н. Васильева и Г. С. Шишмарева. На юг, к неведомой Антарктиде, отправились шлюпы «Восток» и «Мирный» под командованием капитана 2-го ранга Ф. Ф. Беллинсгаузена и лейтенанта М. П. Лазарева. Обе экспедиции посетили Австралию в 1820 г., и материалы их участников по праву можно назвать самыми богатыми из всех русских экспедиций, заходивших в Австралию. Прежде чем прибыть в Австралию, корабли спустились в южные полярные широты. После открытия островов Траверсе на юге Атлантики они трижды подошли к побережью Антарктиды. Первыми в Порт-Джексон пришли суда северной экспедиции: «Благонамеренный» — 28 (16) февраля, а «Открытие» — 2 марта (19 февраля) 1820 г. Они стояли сначала в гавани Сиднея у самого дома капитана Пайпера. Одна из первых просьб капитанов к губернатору Лаклану Макуори (1810–1821) состояла в выделении места на берегу для обсерватории и мастерских. Выбор пал на мыс Киррибилли напротив города на северном берегу залива, которому и суждено было стать мысом Русских. День 3 марта (20 февраля) 1820 г., когда шлюпы перешли на середину фарватера, ближе к северному берегу, и моряки занялись устройством обсерватории и мастерских на мысу, можно считать началом его недолгой, но богатой русской истории. Здесь же, в заливе, недалеко от мыса Русских, лекарь с «Благонамеренного» Григорий Заозерский сделал одну из самых ранних палеонтологических находок в Австралии — обнаружил огромные ребровые кости доисторического животного, вымытые водой из прибрежного песчаника. 26 марта русские корабли покинули гостеприимный Порт-Джексон. А вскоре сюда прибыли потрепанные штормами шлюпы антарктической экспедиции — «Восток» 11 апреля (30 марта) и «Мирный» 19 (7) апреля 1820 г. И снова на северном берегу зазвучала русская речь.