Итак, в 1899 году Пуанкаре был профессором математической физики в Сорбонне, и он занимался математическим описанием наблюдаемых в физике явлений. В этом качестве он внимательно следил за проблемами, возникшими в физике после опытов Майкельсона
Он сразу обратил внимание на предложенную Лоренцем теорию локального времени и сокращение размеров движущихся в эфире тел. В своём курсе «Электричество и оптика» Пуанкаре пишет «Это странное свойство производит впечатление фокуса, сыгранного природой для того, чтобы было невозможно определить движение Земли посредством оптических экспериментов. Такое положение дел не может меня удовлетворить. Я полагаю весьма правдоподобным, что оптические явления могут зависеть только от относительных движений присутствующих материальных тел.»
Тем самым в трёх фразах Пуанкаре исключил эфир. В следующем, 1900 году в статье " Теория Лоренца и принцип противодействия» он Дал физическую интерпретацию лоренцева локального времени: это время подвижных наблюдателей, которые настроили свои часы с помощью оптических сигналов, игнорируя собственное движение. Он там также замечает: «Если аппарат массы 1 кг посылает в некотором направлении со скоростью света энергию в 3 мегаджоуля, то скорость противодействия будет 1 см/сек».
Это означает, что лучевая энергия обладает свойством инерции, так же как любое материальное тело, для которого коэффициентом инерции является его масса. Эта эквивалентная масса электромагнитной энергии Е равна, следовательно, Е/ с2, формула, которую он явно выписывает, что влечёт за собой Е=mc2. Имеет место эквивалентность между массой и энергией в случае электромагнитного излучения. Макс Планк обобщит эту формулу на случай тела, которое поглощает и теряет энергию, и произведёт доказательство в 1907 году, опираясь на электромагнитное количество движения Пуанкаре.
ГЕНДРИК ЛОРЕНЦ, ЛАУРЕАТ НОБЕЛЕВСКОЙ ПРЕМИИ |ПО ФИЗИКЕ 1902 ГОДА:
«Я не установил принципа относительности, как строго и универсально справедливого. Пуанкаре, напротив, получил полную инвариантность и сформулировал принцип относительности — понятие, которое он же и использовал.»
В 1902 году Пуанкаре публикует работу «Наука и гипотеза», работу, которая имела большой резонанс в научном сообществе. Там он. в частности, писал: "Не существует абсолютного пространства и мы воспринимаем только относительные движения. Не существует абсолютного времени: утверждение, что два промежутка времени равны друг другу, само по себе не имеет никакого смысла. Оно может обрести смысл только при определённых дополнителъных условиях. У нас нет непосредственной интуиции одновременности двух событий, происходящих в двух разных театрах. Мы могли бы что-либо утверждать о содержании фактов механического порядка, только отнеся их к какой-либо неевклидовой геометрии».
В этих высказываниях нетрудно увидеть ряд положений, которые типичны для современной релятивистской физики. Лоренц, впрочем, читал эту работу Пуанкаре, он был в курсе тех критических замечаний, которые высказывал Пуанкаре ещё в 1899 году. Лоренц получил в 1902 Нобелевскую премию по физике, вторую в истории науки (первую получил Рентген), что делало его весьма авторитетным. Строгий учёный, он принимал в расчёт критику Пуанкаре, как он сам об этом пишет в мае 1904 года, где он предлагает новые уравнения. Однако, он не может расстаться с идеей неподвижного эфира.
В сентябре 1904 года Пуанкаре приглашают в Соединённые Штаты прочитать лекцию в городе Сент-Луис (штат Миссури). Он должен был там рассказать о состоянии науки и о будущем математической физики. Он начал лекцию с того, что рассказал о той роли, которую выпало играть в современной ему науке великим принципам, таким как закон сохранения энергии, второе начало термодинамики, равенство действия противодействию, закон сохранения массы, принцип наименьшего действия. К ним он затем добавляет радикальное нововведение: «принцип относительности, в соответствии с которым законы физики должны быть одинаковыми, как для неподвижного наблюдателя, так и для наблюдателя, вовлечённого в равномерное движение, так, что мы не имеем и не можем иметь никакого способа узнать находимся мы или нет в подобном движении».
Впервые он обнародовал принцип относительности, касающийся не только механики, но и электромагнетизма. Пуанкаре закончил свою лекцию словами: «Возможно, нам предстоит построить механику, контуры которой уже начинают проясняться и где возрастающая от скорости масса сделает скорость света непреодолимым барьером».
Из публикации Лоренца 1904 года, с которой он познакомился до этой лекции, он извлёк главное, что оправдывает и обосновывает принцип относительности. Он публикует резюме своих исследований в заметке в Академии Наук от 5 июня 1905 года, где можно найти следующую фразу: «Самое главное, что было установлено Лоренцем это то, что уравнения электромагнитного поля не изменился под действием преобразований, которым я даю название преобразований Лоренца».
На самом деле, именно Пуанкаре принадлежит доказательство вариантности уравнений Максвелла, как позже честно признал Лоренц: «Это были мои рассуждения, опубликованные в мае тал года, которые подвигну ли Пуанкаре написать свою статью, которой он приписывает моё имя преобразованиям, из которых не смог извлечь всей пользы. Позже я смог увидеть в статье Пуанкаре, что я мог добиться больших упрощений. Не заметив их, я не смог установить принцип относительности как строго и универсально справедливый. Пуанкаре, напротив, установил совершенную инвариантность и сформулировал постулат относительности. Именно этот термин он первым и употребил».
В докладе, опубликованном в «Заметках Академии наук» 5 июня 1905 года, Пуанкаре комментирует группу преобразований, найденную им при анализе уравнений Лоренца. Он подчёркивает, что главным моментом, оказавшимся в основе принципа относительности, является инвариантность уравнений электромагнитного поля.
Действительно, Лоренц предложил двухступенчатую замену переменных, связывающую координаты события {x,y,z,t} в одном инерциальном репере с координатами этого же события {x',y',z',t'} в другом инерциальном репере, движущемся по отношению к первому. В то время как Пуанкаре связал координаты {x,y,z,t} с координатами {x',y',z',t'} единым преобразованием. Это преобразование симметрично и обратимо: никакой репер не имеет привилегированного характера и в этом суть релятивизма. Немедленное следствие: постоянство скорости света.
Именно этому преобразованию он дал имя Лоренца, ставшее классическим. В заметке 5 июня он писал: «Множество всех этих преобразований вместе со всеми поворотами пространства должно обладать групповыми свойствами для того, чтобы удовлетворять принципу относительности».
Термин «преобразование" имеет специальное употребление в теории групп преобразований в геометрии после работ Феликса Клейна 1872 года. С теорией групп в то время были знакомы лишь несколько математиков самого высокого уровня и некоторые кристаллографы. Поэтому этой теорией воспользовался Пуанкаре, который ею владел, а не Лоренц.
Последствия того открытия, что в основе релятивизма лежит специальная группа, были весьма значительными, так как из этого следовало, что x2+y2+z2-c2t2 является инвариантом этой группы преобразования которой в пространстве четырёх измерений x,y,z,ict являются вращениями. Эта группа, которой Пуанкаре дал название группа Лоренца и которую современные физики именуют группа Пуанкаре, является основой специальной теории относительности.
Итак, в своей заметке 5 июня 1905 года Пуанкаре дал новую форму преобразованиям, предложенным Лоренцем, и установил их групповую природу. В силу этих преобразований уравнения Максвелла инвариантны и этим удовлетворяется принцип относительности: в этом и состоит главный момент. Основы теории относительности были сформированы.