Как уже было сказано, Великая теорема Ферма стала известна после его смерти. С другой стороны, теория чисел, над которой работал математик, не имела большого успеха среди его современников, так как они больше интересовались другими математическими проблемами того времени. Поэтому публикация комментариев Ферма к "Арифметике" Диофанта не имела большого резонанса. Ученые того времени не понимали его увлеченности этими "бессмысленными" задачками, которые казались больше похожими на загадки и головоломки, чем на важные математические проблемы.
Швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783) был знаковой фигурой в математике XVIII века. Его работы посвящены практически всем областям математики, существовавшим в тот момент, а также разнообразным проблемам физики и ряда других наук.
Эйлер занимал выдающиеся должности в академиях наук России и Пруссии во время правления Екатерины Великой и Фридриха II, где он общался на равных с королями и мыслителями уровня Вольтера. Ученый был одноглазым и в конце концов полностью потерял зрение, но это не помешало ему каждую неделю писать по статье.
У него была чудесная память, которая позволяла ему доказывать теоремы в уме, а также без проблем читать наизусть"Энеиду" от начала и до конца. Рассказывают, что когда Екатерине надоели атеистические рассуждения Дидро, она попросила Эйлера унизить его публично. Тот подошел к философу и выпалил:
"(a+bn)/n = х, следовательно, Бог существует. Отвечайте!"
Дидро не знал, что ответить. Однако некоторые историки сомневаются в истинности этой истории. Также Эйлеру принадлежит одна из самых красивых формул в математике: еn + 1 = 0.
Однако прусский математик Христиан Гольдбах (1690- 1764; что любопытно, он знаменит благодаря своей до сих пор не доказанной гипотезе, не сильно отличающейся от задач, которыми занимался Ферма) начал изучать работы Ферма и привлек к ним внимание самого великого математика своего времени. Этим математиком, родившимся примерно через 40 лет после смерти Ферма, был Леонард Эйлер.
Как и все женщины-ученые, жившие до XX века, парижский математик Софи Жермен (1776-1831) столкнулась со множеством проблем в своей научной карьере. Она не получила официального образования и пользовалась для учебы записками Политехнической школы. Софи также переписывалась с великими математиками своего времени, такими как Жозеф Луи Лагранж, Адриен Мари Лежандр и Гаусс, выдавая себя за некоего "господина Леблана". Гаусс узнал правду о ее личности при самых любопытных обстоятельствах, которые только можно себе представить. Когда наполеоновские войска заняли территорию Германии, где жил Гаусс,
Жермен испугалась за жизнь своего корреспондента, вспомнив пример Архимеда, и написала генералу Пернети, другу ее семьи, попросив его защитить гения. Пернети послал отряд, от которого Гаусс узнал о хлопотах Софи. Тронутый и удивленный, Гаусс написал Жермен, заметив, что из-за глупых предрассудков эпохи женщина вынуждена действительно быть человеком, обладающим "благородной смелостью, необычайным талантом и наивысшей гениальностью", чтобы победить все препятствия.
Итак, любопытство Эйлера было разбужено комментариями Гольдбаха, и швейцарец начал анализировать работы Ферма. Среди прочего он доказал: тот ошибся, утверждая, что числа, известные как "числа Ферма", всегда простые. Также Эйлер изучал Великую теорему Ферма. И хотя он не смог доказать ее для общего случая, ему удалось доказать ее для n = 3. Так что на тот момент, когда Эйлер оставил данную тему, было доказано два случая... или на самом деле бесконечное их число, поскольку если доказать теорему для n = 3, результат также справедлив для всех чисел, кратных 3, то есть для последовательности 6, 9, 12, 15... Так происходит потому, что любая степень, кратная трем, может быть записана в виде числа в кубе. Например, 46 = 163. Кстати, доказательство самого Ферма для n = 4 справедливо также для чисел, кратных 4.
Если бы мы могли доказать теорему для простых чисел, поскольку любое число кратно простым числам, мы бы доказали ее в целом. Однако, к сожалению, доказательство для п - 5 оказалось гораздо сложнее, чем представлял себе Ферма. В любом случае, тот факт, что Эйлер заинтересовался работами Ферма, вызвал интерес к теории чисел. Благодаря Эйлеру и Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855) данная дисциплина превратилась в уважаемую математическую теорию, как этого и хотел Ферма.