Работа Куммера также была основополагающей для последующего обобщения его понятия идеальных чисел немецким математиком Рихардом Дедекиндом (1831-1916) при создании теории идеалов. Идеал, например, — это множество четных чисел, или кратных трем, однако существуют идеалы, не являющиеся числами, несмотря на то что к ним применимы близкие им понятия, такие как разложение на простые множители.
После смерти Куммера в 1893 году серьезные исследователи перестали заниматься поисками доказательства теоремы Ферма. В течение десятилетий эти поиски были уделом математиков-любителей, которые искали Грааль, обещающий славу и некое материальное вознаграждение (в начале XX века Пауль Вольфскель установил премию в 100 тыс. марок тому, кто докажет или опровергнет Великую теорему Ферма). Но методы, используемые этими любителями, были настолько же примитивны, как и методы самого Ферма, что снова и снова обрекало их на поражение. Изобретение компьютеров позволило начать поиски контрпримеров. Как известно, достаточно только одного контрпримера (в случае Ферма — найти по крайней мере одну тройку х,у и z натуральных чисел, для которых выполнялось бы равенство при n > 2), чтобы доказать, что теорема ложная. Наоборот, если нужно доказать ее истинность, не хватит и миллиона примеров.
Компьютеры, каждый раз все более мощные, позволили доказать в начале 1980-х годов, что Великая теорема истинна для всех значений п до четырех миллионов. Но этого было недостаточно. Хотя большинство математиков было убеждено в том, что теорема истинна, нельзя утверждать какой-то результат, сколько бы положительных случаев его ни подкрепляло. Ярким примером этого может служить гипотеза, которую сформулировал Эйлер в XVIII веке. В ней утверждалось, что равенство х4 + у4 + z4 = w4 не имеет натуральных решений. Только в 1988 году, примерно через 200 лет после смерти Эйлера, с помощью найденного контрпримера было доказано, что его гипотеза ложна. У уравнения существует следующее решение: x = 2682 440, у = 15365 639, z = 18 796 760, a w = 20 615 673.
Есть некая справедливость в том, что человек, который опроверг Ферма с его простыми числами, сам был, в свою очередь, опровергнут.
Но в 1983 году немецкий исследователь по имени Герд Фальтингс совершил гигантский прорыв, доказав, что если и существуют натуральные решения уравнения Ферма, то их число конечно. Это не доказывало теоремы, в которой говорится, что число решений равно нулю, но это был значительный прогресс. Будем осторожны и проясним, что конечное число решении может быть равно 101010 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 , так называемому "числу Скьюза", связанному с распределением простых чисел. Речь идет о невообразимо большом числе, намного большем, чем количество частиц во Вселенной, или даже большем, чем число возможных взаимодействий между этими частицами. Годфри Харди назвал его "самым большим числом, которое когда-либо имело применение в математике".
Метод Фальтингса основывался на дифференциальной геометрии. Она изучает, в общих чертах, обобщенные кривые и геометрические поверхности, используя для этого такие инструменты исчисления, как дифференцирование и интегрирование. Группа советских исследователей в 1970-х годах поняла, что можно связать некоторые проблемы теории чисел, то есть теории, к которой принадлежит теорема Ферма, с некоторыми проблемами дифференциальной геометрии. Эти исследователи построили мост между двумя островами, очень далекими друг от друга, соединяя специалистов, ранее не взаимодействовавших между собой.
Фальтингс связал уравнение Ферма (xn + yn = zn) с различными поверхностями в области дифференциальной геометрии, по одной для каждого значения n. Такие поверхности похожи на бублики, только вместо одной дырки в центре у них много дыр. Чем больше п, тем больше дыр. Фальтингс связал возможность существования более чем одной дыры с тем фактом, что у соответствующего уравнения Ферма есть конечное число решений. Это был большой шаг, но все еще недостаточный.