Другим большим новшеством исламской культуры была систематизация алгебры. Выдающийся исламский математик Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (780-850) написал трактат по алгебре, в котором классифицировал различные типы уравнений и высказал мысль, что две части уравнения подобны чашам уравновешенных весов: то, что вычитается или прибавляется в одной части, должно быть вычтено или прибавлено в другой.
Благодаря проникновению арабской культуры в Европу стало возможным появление и развитие одной из школ математики XVI и XVII веков — ренетов, которые просто занимались вычислениями, основываясь на арабской традиции и собственных первых открытиях. Они были прежде всего прагматиками, не желавшими тратить время на строгость греческого доказательства. В этой смеси традиций и развивалась деятельность Ферма. С одной стороны, реистский прагматичный подход к решению задач, с другой — геометры и их страсть к систематизированным и выверенным результатам. Но самое большое влияние на героя этой книги оказал математик Франсуа Виет; его работы являются связующим звеном, объединяющим разные направления научной деятельности Ферма. В первую очередь речь идет о созданной Виетом символической алгебре и его методах работы с уравнениями.
Уже Диофант в эллинскую эпоху иногда пользовался символами для обозначения числовых величин, но именно Виет создал новый язык, который, как и индо-арабская запись, позволял выражать до тех пор невыразимые вещи. Виет был первым, кто систематично использовал буквы, чтобы обозначать константы и неизвестные.
Символическая алгебра позволяет представить неизвестное нам число: оно уже не "вещь", а х. Действительно, как в случае с Великой теоремой можно выразить числа, "которых, возможно, даже не существует", — х, у и z из уравнения Ферма. Символическая алгебра позволяет рассуждать о целых классах задач и делать утверждения о бесконечном количестве похожих проблем, зная только их алгебраическую структуру, связь между переменными посредством уравнения. То есть можно говорить об уравнениях в общем виде. Например, можно быстро и просто сказать, что a2 - b2 = (a + b) (a - b) и что это выполняется при любых a и b. Символическая алгебра освобождает наш ум от тяжелых словесных описаний и позволяет рассуждать на другом уровне, точно так же, как арабские цифры помогают нам считать. Революция в данной области стала возможной благодаря Виету, а затем и Декарту.
Теперь необходимо остановиться на некоторых понятиях. Древнегреческие математики стремились к строгим безукоризненным доказательствам: они назывались "синтетическими" и шли от гипотезы теоремы до ее заключения, с использованием логических правил, шаг за шагом. Но редко ученый следует по такому прямому пути, когда делает свои открытия. Математик пользуется (и греки не были исключением) эвристическими, неформальными методами для проверки своей правоты, прежде чем попытаться составить доказательство. В Древней Греции пробные пути, по которым пытались исследовать доказательство, можно сравнить со строительными лесами, убранными из окончательной редакции доказательства. Они назывались анализом (следует заметить, что это слово имеет абсолютно другое значение в современной математике), в то время как доказательство было синтезом. Анализ ведется от заключения к гипотезе, в то время как обычное, строгое и синтетическое доказательство всегда следует в противоположном направлении. К разочарованию своих читателей XVI и XVII веков, греки не оставили следов используемого ими аналитического метода, полностью стирая их и демонстрируя только строгость и красоту синтетического доказательства. Папп, несколько веков спустя писавший о вершинах эллинской математики, был одним из немногих авторов, который оставил какие-то свидетельства анализа.
На первый взгляд использование такого приема кажется странным. Обратные теоремы необязательно верны (см., например, малую теорему Ферма). Следовательно, перевод анализа (движения в обратном направлении) в синтетическое доказательство (скажем так, в правильном направлении, от гипотезы к заключению) не является автоматическим. Но греки прибегали к искусным методам, позволяющим инвертировать анализ и превращать его в доказательство по правилам. В частности, они заметили, что в геометрии во многих случаях шаги действительно можно инвертировать. В других случаях они с той же целью использовали вспомогательные гипотезы.