В главе 2 этой книги говорится о том, как математики ищут мосты между областями, которые на первый взгляд различны и не имеют никакой связи. Один из первых примеров подобной деятельности по построению мостов — это аналитическая геометрия, которая так называется, поскольку в ней используется аналитическое искусство (алгебра) для описания всей геометрии. Внезапно оказывается, что все геометрические проблемы могут быть решены с помощью алгебры на основе определения кривых как геометрических мест точек.
График кривой в двумерном пространстве, общее уравнение которой у = ax2 + bx2 +cx + d.
Геометрическое место точек — это множество точек, обычно бесконечное: то, что мы называем кривой, несмотря на то что не все эти множества — кривые в обыденном понимании. Данное множество должно обладать неким свойством. Например, все точки, равноудаленные от одной неподвижной, определяют геометрическое место точек под названием 4окружность", а все точки, расстояние от которых до заданной точки равно расстоянию до заданной прямой, определяют геометрическое место точек под названием "парабола".
Таким образом, каждый раз можно определять все более сложные кривые.
Во время изучения геометрических мест точек, определенных Аполлонием, у Ферма, так же как и у Декарта, случилось озарение: эти множества, находясь на плоскости, могут быть полностью определены уравнением с двумя неизвестными.
Оказалось, что размерность не зависит, как считалось до того времени, от степени уравнения — от того, квадратное оно или кубическое. Она зависит от чист неизвестных. Так, если у нас есть две неизвестные, то получатся две кривые на плоскости (два измерения). Если переменная только одна, получаются точки на линии (одно измерение), которые анализировал Виет. Если их три, получаются поверхности в трех пространственных измерениях.
Не важно, что уравнение — это многочлен третьей степени; оно определяет не трехмерную поверхность, а, если в нем две неизвестные, всего лишь двумерную кривую (см. рисунок).
Теперь ничто не мешало анализировать многочлены большей степени. Это изменение понятия размерности стало шагом на пути к аналитической геометрии. К тому же эти переменные были связаны друг с другом посредством неопределенного уравнения, то есть уравнения с бесконечным числом точек — геометрического места точек.
До аналитической геометрии геометрические места точек описывались в соответствии с их свойствами, например в случае с коническими сечениями — пересечениями объема и плоскости. Аналитическая геометрия полностью изменила парадигму, позволив, чтобы ограниченное число кривых, которые изучали греки и которые должны были строиться по одной, умножилось до бесконечности. Это не преувеличение. Действительно, число уравнений с двумя неизвестными бесконечно, и так как каждому из них соответствует кривая, количество возможных кривых также бесконечно.
Кроме того, алгебраизация геометрии позволяла ввести в последнюю гибкость алгебраических операций — сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, — что вместе с теорией уравнений позволяло решать многие задачи почти механически.
Аполлоний Пергский (ок. 262 — ок. 190 до н.э.) систематизировал изучение кривых, называемых коническими сечениями, которым он дал их сегодняшнее название. Конические сечения определяются пересечением плоскостью конуса под разными углами. Можно доказать, что, кроме случаев вырожденных сечений, все виды конических сечений можно свести к следующим случаям. Если пересечь конус параллельно образующей, результатом сечения будет парабола; если угол между плоскостью и осью конуса больше, чем угол при образующей, получается эллипс; когда секущая плоскость перпендикулярна оси — окружность; наконец, если плоскость пересекает обе полости конуса, мы видим гиперболу. Свойства, сформулированные математиком из Перге, позволили каждой из них иметь определяющую характеристику, которая отличает ее от всех остальных конических сечений и выражена в виде пропорции. Именно на основе этих характеристик Декарт и Ферма строили свое изучение соответствующих уравнений.
Окружность
