Эллипс
Парабола
Гипербола
В сравнении с трудоемким начертательным методом греческих геометров аналитическая геометрия была чрезвычайно мощным методом решения задач. Это как раз доказал Ферма, взявшись за некоторые теоремы Паппа, которые до этого никто не мог доказать, а также занявшись задачей Галилея и поправив самого тосканского ученого. В то время как Галилей думал, что пушечное ядро, падающее к центру Земли, движется по круговой траектории, Ферма выяснил, что данная траектория является спиралью. Галилей в переписке с Ферма согласился с его поправкой.
Между тем работа Декарта в этой области хотя и привела к крайне богатым результатам, была им заброшена. Он хотел показать новый образ мысли, а не находить новые математические результаты. Парадоксально, что в 1637 году, когда математическая карьера Ферма едва только начиналась, Декарт по собственной воле заканчивал свою. Опубликованная им "Геометрия" была частью книги, содержащей три научных трактата, которым предшествовало знаменитое "Рассуждение о методе". Она в глазах самого Декарта была только иллюстрацией того метода, что он открыл, неоспоримым доказательством силы его философии. Эта работа, опубликованная в 1637 году, стала лебединой песней математики Декарта, а именно в то время Ферма начал работать с наибольшим пылом. Эти два гения имели между собой мало общего. Декарт внес огромный вклад в науку, однако просто как факт следует отметить, что его математический гений блистал лишь в течение нескольких чудесных лет. Декарт был прежде всего философом, а Ферма — математиком в чистом виде. Они использовали разные подходы к решению задач. Для Декарта было достаточно разработать метод, а Ферма было необходимо применять его к решению математических задач.
Иллюстрация метода координат Фарма и того, как определяется геометрическое место точек.
Как уже упоминалось, интерес Ферма к аналитической геометрии возник из его попыток восстановить сочинение Аполлония. В процессе этой работы он пришел к мыслям, которые отразил в своем Isagoge, где можно прочитать следующее:
"Каждый раз, когда две величины [две неизвестные) находятся в равенстве..., существует такое геометрическое место..., что конечная точка [этих величин] описывает прямую или кривую линию".
Согласно историку Карлу Бойеру, данное утверждение составляет одну из самых больших революций в истории математики. Его нельзя доказать напрямую; это постулат. Но Ферма посвящает остаток своего маленького трактата иллюстрации его пользы, анализируя частный случай кривых: конические сечения, прямую линию и окружность (которую в древности не считали коническим сечением).
Ферма не создавал прямоугольную систему координат, которая так хорошо знакома нам сегодня. Его аналитическая геометрия одноосная: определяется только ось абсцисс. Однако очевидно, что он скрыто использует ось ординат при определении расстояний.
На рисунке показаны элементы аналитической геометрии Ферма. У нас есть уравнение с двумя неизвестными x и y и константой c, ƒ(x, y) = c. Расстояние х0 — это явно значение абсциссы, в то время как ордината задана значением длины отрезка у0. Заметьте, что угол α необязательно прямой, как это было бы в современной системе декартовых координат. На самом деле угол произволен (более поздние авторы поняли, что намного проще сделать угол α прямым). Точка, которая движется по геометрическому месту точек, — А. Мы можем видеть, как она движется к положению А' которое соответствует абсциссе х1 и ординате у1. Следует заметить, что ƒ(x0, у0) - ƒ(x1, у1) = c, то есть уравнение выполняется для всех точек А геометрического места точек, и наоборот, точки А полностью определяются уравнением. Это ключевое соответствие между геометрией и алгеброй, предоставляемое аналитической геометрией (запись современная — Ферма не использовал запись функции ƒ(x, у)).
В этом изложении есть скрытое понятие, которое было основополагающим для развития анализа: непрерывное изменение. Используя единственную ось, Ферма сосредоточился на том, как движется точка по кривой, определяющей геометрическое место. Это концептуально отличается от процесса графического представления точек на плоскости с двумя координатными осями и помещения между ними кривой, как большинство из нас научилось делать при составлении графика. Видение Ферма динамично: оно соответствует точке, двигающейся по некоей траектории, и, следовательно, почти случайно Ферма придал физическую реальность аналитической геометрии, которая оказалась основополагающей в последующих работах Ньютона, Лейбница и семьи Бернулли. Другая отличительная характеристика системы Ферма в том, что она включает в себя только положительные величины в области и абсцисс, и ординат, поэтому его кривые всегда находятся в первой четверти плоскости и, следовательно, иногда теряется от половины до трех четвертей их протяженности. Парабола с вершиной в начале координат и фокусом на оси х, например, была бы только половиной параболы.