В приложении, которое вышло через некоторое время после Isagoge, Ферма представил общий метод превращения уравнения третьей или четвертой степени в систему уравнений второй степени. Речь идет о поиске точки пересечения между двумя кривыми. Так, уравнение х3 + bx2 = bс с помощью введения новой переменной у превращается в два неопределенных уравнения: х2 + bx = by, с = ху. Речь явно идет о пересечении между параболой и гиперболой. К сожалению, геометрический "дух· метода помешал Ферма найти больше одного корня (пересечения), поскольку под влиянием греков он довольствовался только одним положительным корнем. Математик пользовался этими результатами для выступления против классификации кривых Декарта в полемике, которая на сегодняшний день оказалась бесплодной, поскольку данные классификации, как выяснилось, не имеют значения.
Центральная теорема, которую Ферма доказывает в своем Isagoge, состоит в том, что все конические сечения, помимо прямой линии и окружности, могут быть выражены общими уравнениями второй степени или первой степени (в случае с прямой). Ферма делит все возможные уравнения первой или второй степени на семь "канонических" случаев, доказывая, что любое уравнение первой или второй степени можно свести к одному из них: они относятся, соответственно, к окружности, эллипсу, параболе, двум видам гиперболы и двум видам прямой линии. Доказательства для каждого случая намного более подробные, чем те, что обычно давал Ферма, но даже здесь было опущено несколько шагов, которые казались математику очевидными, поскольку они вытекали из классических сочинений, таких как "Данные" Евклида, трактат "Конические сечения" Аполлония или работа Виета.
Как и Виет, Ферма неизменно опускает синтетическое доказательство, считая его тривиальным и пользуясь только аналитическим методом, чтобы дойти от уравнения до геометрического места точек. Однако ясно: ученый считает, что его теоремы обратимы (и это соответствует действительности), то есть для любого геометрического места точек также есть уравнение. Кроме того, в своих доказательствах Ферма использовал, чрезмерно не выделяя их, ряд преобразований, типичных для аналитической геометрии, таких как перемещение круга (чтобы его центр совпадал с началом координат), вращение параболы или изменение переменной. Ученый уже знал, что он может осуществить эти преобразования, и его результат все равно не потеряет обобщенности.
Заложив основы аналитической геометрии на плоскости, Ферма затем принялся за попытки распространить свои результаты на трехмерное пространство. Однако его математические методы не справились с такой задачей. Отсутствие системы координат оказалось роковым; визуализация геометрических результатов в трех измерениях без соответствующих координат слишком сложна, и Ферма так и не добился своей цели.
Декарт был первым, кто рассуждал об алгебре как о виде мыслительного процесса, но ясно, что Ферма, менее склонный к философии, был твердым сторонником данного подхода. Им вдвоем удалось создать новое математическое мышление, актуальное и сегодня. Очевидно, что Ферма не знал этого, но, вероятно, он был одним из последних математиков, которые так глубоко интересовались классиками. Герой нашей книги хотел возродить классическую традицию, восстановив самые значимые работы, однако на самом деле похоронил ее. Инструменты, которыми он пользовался для того, чтобы раскрыть забытые секреты Древней Греции, открыли новый мир, и из-за этого многие классические греческие методы потеряли свое значение.
ГЛАВА 5
Вклад Ферма в дифференциальное и интегральное исчисление
Аналитическая геометрия стала основой, с помощью которой были созданы другие революционные методы, в частности математический анализ. Ферма понял, что если можно использовать уравнение для полного описания кривой, то можно применить алгебраические действия для изучения свойств этой кривой. Но чтобы прийти к этому выводу, ученому пришлось преодолеть извилистый путь.