Собственно, в Methodus Ферма сформулировал способ нахождения касательной к любой заданной кривой. Он с гордостью говорил, что этот метод абсолютно общий и работает всегда, но не обосновывал своего утверждения. Упомянутый им метод нахождения касательных, естественно, исходил из его же метода максимумов и минимумов. Действительно, Ферма понял, что, так как классические греческие кривые (конические сечения, окружности и прямые линии) были определены через пропорции, решить задачу касательной равносильно тому, чтобы найти минимум некоей пропорции между двумя величинами. Его метод максимумов и минимумов также работал для максимизации или минимизации некоторой величины или пропорции. Следовательно, нахождение касательной было его естественным применением.
Рассмотрим метод Ферма детально. Возьмем параболу, показанную на рисунке. Мы ищем касательную в точке В, прямую ВE. Ферма рассматривал произвольную точку О, внешнюю по отношению к параболе. Здесь ясно видно, что он был еще далек от понятия бесконечно малых; в анализе бесконечно малых точка О должна была находиться произвольно близко к точке В. Затем он рассмотрел свойство параболы, определенное Аполлонием в виде пропорции:
BC2/ZI2 - CD/DI,так как OI >ZI, CD/DI > BC2/OI.
По подобию треугольников ВСЕ и OIE получается, что
ВС/OI = СЕ/TE, поэтому CD/DI > CE2/IE2.
Пусть CD = d, CI = е и СЕ = а. Этот последний отрезок — подкасательная. Тогда
d/(d - e) > а2/(a - e)2
и d(a - е)2 > a2 (d - е), откуда da2 - 2dae + de2 > da2 - a2e.
Затем приравниваются оба члена неравенства: da2 - 2dae + de2 ≡ da2-a2e, и после сокращения и перестановки членов: de2 + a2e ≡ 2dae. При делении на е: de + a2 ≡ 2da. Наконец, Ферма игнорировал член, содержащий е: а2 = 2da, из чего а = 2d. Таким образом можно найти точку Е, определив подкасательную к параболе ( СE ).
В своей "Геометрии· Декарт сделал различие между геометрическими и механическими кривыми. Первые имели выражение в алгебраических уравнениях, то есть многочленах. Механические кривые, наоборот, не имели такого выражения; они представляли собой траекторию перемещения некоей точки, которая двигалась в соответствии с определенными правилами. В "Геометрии" Декарт счел невозможным анализ механических кривых. Зато Ферма в своей безымянной рукописи 1640 года изучал три геометрические кривые: циссоиду, конхоиду и декартов лист, а также циклоиду — механическую кривую. Циклоида — это ответ на кажущийся парадокс Аристотеля о расстоянии, которое проходят две точки, расположенные в двух концентрических окружностях, катящихся по линии. Циклоида образуется движением определенной точки колеса, катящегося без скольжения по прямой. При анализе этой проблемы Ферма был вынужден, "чтобы избежать иррациональности", приравнять отрезок RB касательной к отрезку RN кривой.
Methodus был написан до того, как Ферма изобрел аналитическую геометрию. Единственное представление о классических кривых все еще принадлежало Аполлонию. Именно поэтому Ферма продолжал применять геометрические определения грека вместо своего более позднего алгебраического представления. Но в "Аналитическом исследовании" Ферма уже был способен использовать огромную силу своих алгебраических уравнений для подхода как к проблеме максимумов и минимумов, так и к проблеме касательных. Действительно, в его записях было каждый раз все меньше диаграмм. Ему было достаточно уравнения, которое полностью определяло кривую, для глубокого анализа ее свойств. С помощью такого уравнения он мог искать максимумы и минимумы, с одной стороны, и касательные, с другой. Алгебраический метод вновь показывал свою эффективность. В последующие годы он пошел еще дальше, практически дойдя до понятия произвольно малого расстояния в работе о касательной к циклоиде, то есть находясь на самом пороге дифференциального исчисления.
Но Ферма лишь наполовину осознавал огромную силу своих методов. Увлеченный — как и все его современники, а также его учитель Виет — восстановлением великого труда греков, он не обратил внимания на то, что его мысль пошла по пути, открывающему новые возможности перед математикой. Захваченный прошлым, он не смог справедливо оценить важность своих достижений.