Действительно, вспомним, что производная в заданной точке кривой определяется как угловой коэффициент касательной к данной точке. Ферма этого не видел... поскольку на самом деле ему не пришло в голову рассматривать угловой коэффициент как уравнение. Действительно, он вычислял не угловые коэффициенты, а подкасательные, то есть проекции касательной на ось абсцисс, и делал справедливый вывод о том, что как только вычислена данная проекция, нарисовать касательную тривиально просто. Очевидно, именно по этой причине он так и не заметил, что угловой коэффициент может быть также выражен в виде кривой, определенной уравнением. Ферма был неспособен увидеть, что существует отношение между двумя уравнениями с двумя переменными, в котором дифференцирование — это способ превратить одно в другое. Как бы то ни было, нам нужно вернуться в то время, когда Methodus только начал распространяться: аналитическая геометрия и обоснования "Аналитического исследования" были в будущем. В Methodus есть только инструкции. Чтобы поверить Ферма, требовалась благосклонность к автору, а в то время жил человек, который очень недружелюбно относился к Пьеру де Ферма и совсем не собирался проявлять к нему подобных чувств. Этим человеком был не кто иной, как Декарт.
До определенного момента уже занимавшийся научной деятельностью Декарт не знал о существовании Ферма. В 1637 году, когда едва начиналась переписка Ферма с Парижем, он заканчивал свой знаменитый труд "Рассуждение о методе", куда в качестве приложений были включены три работы. В них Декарт пытался проиллюстрировать мощь своей философии. Одной из них была "Диоптрика", другой — "Геометрия", в которой ученый впервые излагал свое понимание теории уравнений и аналитической геометрии. Он был уверен, что никто не сделал ничего подобного. Декарт полагал, что заново создал философию, сформулировав правила корректного мышления и проиллюстрировав, как их применять в математике и физике.
К тому времени он уже вступил в полемику с некоторыми математиками. Судьба распорядилась так, что этими математиками были Роберваль и учитель Ферма, Богран, — друзья Ферма, на которых он рассчитывал в период своей известности в кружках Парижа. Декарт сурово раскритиковал "Геостатику" Бограна. В свою очередь, Богран обвинил Декарта в том, что тот совершил плагиат теории уравнений Виета, его учителя. Кроме того, похоже, что Богран воспользовался своей должностью королевского секретаря (которая давала впечатляющую власть), чтобы получить экземпляр "Диоптрики" Декарта. Сочинение оказалось в руках Ферма до публикации, в связи с чем на Мерсенна обрушился гаев Декарта.
Обеспокоенный Мерсенн попросил Ферма не комментировать трактат публично, а направлять всю переписку через него. Ферма, не знавший всего, что произошло, воспринял это как просьбу прокомментировать труд Декарта. В своем письме он говорил, что "Диоптрика" кажется ему попыткой исследователя вслепую изучать что-то в темноте и результаты его — плод круговой аргументации: автор доказывает свои тезисы с помощью аргументов, истинность которых основывается на его же тезисах. Мерсенн, поколебавшись, переслал это письмо Декарту. Примерно в то же самое время Декарт получил экземпляр первого трактата Ферма, посвященного восстановлению работы Аполлония. Поскольку это была ранняя работа, Декарт отнесся к ней с презрением.
Ученый решил, что Ферма не понял его "Диоптрику", поэтому через Мерсенна порекомендовал ему хорошо ее прочитать, добавив, что если он также проштудирует его "Геометрию", то сможет стать успешным учеником. Очевидно, что Декарт недооценивал своего оппонента. Через некоторое время он получил экземпляры Methodus и Isagoge, присланные Ферма, гордость которого, возможно, была уязвлена, и он хотел доказать свою значимость. В этот момент Декарт явно понял свою ошибку: Ферма был математиком высшего уровня. Действительно, он тоже открыл аналитическую геометрию, которой так гордился сам Декарт!
Вместо того чтобы признать талант своего соперника, Декарт решил, что Ферма — участник заговора (в котором также замешаны ненавидимые им Роберваль и Богран), направленного на то, чтобы разрушить работу всей его жизни, его сокровище, "Рассуждение о методе". Действительно, в письме Мерсенну в январе 1638 года Декарт жаловался на то, что его интеллектуальное детище пытаются задушить еще в колыбели. И хотя ученый и не говорил этого открыто, возможно, он также думал, что из-за бестактности Бограна и Мерсенна Ферма совершил плагиат его аналитической геометрии. Далее мы приводим фрагменты ответов Декарта Мерсенну.