Университет Лобачевский любил.
Годы, отданные университету, сделали Лобачевского известным в Казани человеком. Он умел организовать самую сложную работу и всегда добивался успехов. Там, где требовалась особая ответственность, выдвигали именно Лобачевского. Надо было привести в порядок библиотеку, библиотекарем непременно назначали его, пусть даже приходилось совмещать такую работу с ректорской; начиналось строительство, Лобачевского непременно вводили в строительный комитет, даже избирали председателем. Он явился инициатором издания и первым редактором «Ученых записок Казанского университета». При Лобачевском в Казанском университете были организованы новые клиники, анатомический театр, большой физический кабинет, астрономическая обсерватория. Лобачевский состоял членом особого комитета, созданного для наблюдения за деятельностью училищ округа, а в 1830 году был отмечен высочайшим благоволением за то, что сумел организовать противостояние холере, свирепствовавшей в Поволжье.
В 1823 году Лобачевский подготовил к печати свой собственный курс геометрии, в котором изложение материала существенно отличалось от традиционного. Говоря, например, о знаменитом пятом постулате Евклида, Лобачевский отмечал, что строгое доказательство его невозможно, а известные доказательства являются всего только объяснениями. Рукопись курса была отправлена на заключение петербургскому академику Н. И. Фуссу, известному своими работами в области сферической геометрии и тригонометрии.
Фусс дал о курсе достаточно резкий отзыв.
Между прочим, особенно возмутило Фусса то, что Лобачевский пытался ввести в своем учебнике в качестве единицы длины метр, в чем академик усмотрел влияние французских революционных идей, разумеется, крамольных.
Обидевшись, Лобачевский даже не востребовал рукопись обратно.
Через три года, 11 февраля 1826 года, в Казанском университете произошло историческое событие. В этот день на заседании Отделения физико-математических наук ординарный профессор Лобачевский сделал сообщение о своем сочинении «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». В протокольной записи заседания осталась следующая запись: «Слушано представление господина Ординарного профессора Лобачевского от 6 февраля сего года, с приложением своего сочинения на французском языке… о котором желает он знать мнение членов Отделения, и ежели оно будет выгодно, то просить сочинение принять в составление ученых записок Физико-математического факультета».
О содержании указанного сочинения можно судить по тем отрывкам, которые позже вошли в первую часть работы Лобачевского «О началах геометрии», опубликованную в «Казанском вестнике». В 1835 году в «Научных записках Казанского университета» была опубликована работа Лобачевского «Воображаемая геометрия», а в 1835–1838 годах – «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных линий».
Теорема о параллельных, указанная Лобачевским, долгое время занимала умы многих ученых. Сколько было потрачено сил на ее доказательство подсчитать попросту невозможно. Эта теорема, больше известная как постулат Евклида, гласит: в данной плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности. Это понятно уже из того, что речь в ней идет о всей бесконечной прямой в целом, тогда как человеческий опыт имеет дело лишь с большими или меньшими отрезками прямых.
Доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии, ученые пытались чуть ли не с самого зарождения геометрии. В свое время это делал Птолемей, в средние века – Насир ад-Дин, в XVIII веке – французы Ламберт и Лежандр, но все они потерпели неудачу.
Лобачевский, как многие до него, тоже начал с того, что принял противоположное этой аксиоме допущение: к данной прямой через данную точку можно провести по крайней мере две параллельные. Он стремился привести такое допущение к очевидному противоречию, однако, по мере того, как он развертывал все более и более длинную цепь следствий, вытекающих из указанного допущения, становилось все более ясным, что никакого противоречия не только не возникает, но, похоже, и не может возникнуть.
Вместо явного противоречия Лобачевский получил, пусть и необычную, пусть и противоречащую здравому смыслу, но логически стройную и безупречную систему предложений, обладающую тем же логическим совершенством, что и обычная евклидова геометрия.
Впрочем, указав на непротиворечивость построенной им новой геометрической системы, Лобачевский строгого доказательства этой непротиворечивости все равно не дал. Более того, он сам указал на то, что при несомненной логической безупречности обеих геометрических систем – Евклидовой и «мнимой» – вопрос о том, какая из них действительно осуществляется в физическом мире, может быть решен только опытом. В сущности, указывал позже академик П. С. Александров, Лобачевский просто оказался первым, кто взглянул на математику, как на опытную науку, а не как на абстрактную логическую схему, кто отказался от тысячелетнего предрассудка априорности геометрических истин. В точку зрения Лобачевского современная наука внесла лишь одну поправку. Эта поправка состоит в том, что вопрос о том, какая, собственно, геометрия действительно осуществляется в нашем физическом мире, не имеет того непосредственного наивного смысла, который ему придавался во времена Лобачевского. Ведь сами основные понятия геометрии – понятия точки и прямой, родившись, как и все наше познание, из опыта, не являются все же непосредственно нам данными в опыте, а возникли путем той же абстракции от опыта, в качестве наших идеализаций опытных данных, идеализаций, только и дающих возможность приложения математического метода к изучению действительности. В конце концов, геометрическая прямая, уже в силу одной своей бесконечности, не является (в том виде, как она изучается в геометрии) предметом нашего опыта, а является лишь идеализацией непосредственно воспринимаемых нами весьма длинных и тонких стержней или световых лучей.