Чтобы оценить понимание испытуемыми концентрации, насыщенности и плотности, Смит просила расположить в порядке увеличения растворы разной концентрации, различную насыщенность точек и материалы разной плотности. Все удельные величины определялись легко вычисляемыми параметрами: например, четыре чайные ложки сахара на два стакана воды. Перед экспериментом с расследованием убийства ученики уже умели располагать точки по насыщенности, но не умели располагать растворы по концентрации и материалы по плотности. После эксперимента они могли расположить растворы, но все еще не материалы. Понятийный промежуток между отрабатываемыми величинами (насыщенностью и концентрацией) и целевой величиной (плотностью) оказался слишком велик.
В дальнейших исследованиях Смит и коллеги применили другой подход[57]. Вместо того чтобы пытаться сделать плотность воспринимаемым параметром, они показывали ученикам материальные явления, объяснимые только с точки зрения плотности и ее составных элементов — веса и объема. Несколько недель ученики взвешивали на очень чувствительных весах маленькие, не имеющие тяжести предметы (блестки, капли чернил). На рычажных весах они сравнивали пустые воздушные шары с шарами, наполненными воздухом. Они определяли объем предметов, которые не получается измерить линейкой (капли воды), исходя из измеримых объемов (миллилитр воды). Они погружали предметы разной плотности в жидкости разной плотности. Они измеряли вес и объем железного шарика до и после нагревания и вес таблеток шипучего аспирина до и после растворения в воде.
В отличие от задач с убийствами, этот подход оказался эффективным. До курса лишь немногие ученики могли упорядочить материалы по плотности. После курса с этим справлялось большинство. Кроме того, после курса большинство учеников начало считать материей неосязаемые вещества (воздух, пыль, дым) и приписывать вес микроскопическим объектам (крохотному кусочку пенопласта). Наверное, больше всего заслуживает внимания тот факт, что ученики, сначала провалившие задачи Пиаже на сохранение, после обучения справлялись с ними, хотя тема сохранения прямо не затрагивалась.
Дополнительные исследования группы Кэрол Смит показали, что освоение корпускулярной теории материи имеет на удивление обширные последствия за пределами области материи, в мире чисел. Целые числа, как и предметы, можно делить на меньшие составляющие (дроби), однако дети изначально воспринимают числа по-другому, считая их просто конечными точками отсчета. Малыши понимают, что числа можно увеличивать и уменьшать, прибавляя и убирая предметы, но не имеют представления о делении. Числа рассматриваются как целостные и однородные, аналогичные физическим объектам.
Заинтригованные этим сходством, Смит и коллеги задались вопросом, развивается ли понимание делимости чисел в тандеме с пониманием делимости материи. Для этого они совместили описанную выше задачу на деление пенопласта с задачей на деление чисел. Вот простой пример беседы с третьеклассником:
Ученый: Между нулем и единицей есть еще какие-нибудь числа?
Ребенок: Нет.
Ученый: А половина?
Ребенок: Да. Получается, что есть.
Ученый: А сколько примерно чисел между нулем и единицей?
Ребенок: Ну, не очень много. Только ноль и половина, потому что это на полпути к единице.
Ученый: Давай представим, что ты разделил два пополам и получил один, а затем снова разделил результат пополам. Можно так делить до бесконечности?
Ребенок: Нет, потому что если взять эту половину числа, получится ноль, а ноль разделить нельзя.
Ученый: То есть когда-нибудь получится ноль?
Ребенок: Да.
Некоторые дети знали, что существуют и другие дроби, не только одна вторая. Один третьеклассник, например, заметил: «Есть половина, треть, четверть, одна какая-то и так далее вплоть до десяти». Но даже такие дети отрицали, что сами эти дроби можно делить. В более старшем возрасте дети уже не просто утверждали, что дроби, например одну четверть, можно разделить пополам, но и что делить пополам можно бесконечно. Это иллюстрирует следующий диалог с пятиклассником:
Ученый: Между нулем и единицей есть еще какие-то числа?
Ребенок: Да, есть.