Ученый: Можешь привести пример?
Ребенок: Одна вторая или ноль целых пять десятых.
Ученый: А сколько примерно чисел между нулем и единицей?
Ребенок: Много.
Ученый: Представь, что ты разделил два пополам, получил единицу и опять разделил ее пополам. Можно так делить до бесконечности?
Ребенок: Да. Когда что-то делишь, всегда что-то остается.
Ученый: Ты когда-нибудь получишь ноль?
Ребенок: Нет, потому что есть бесконечно много чисел меньше единицы, но больше ноля.
Крайне важно то, что осознание детьми делимости чисел сопровождает осознание делимости материи. Дети, утверждающие, что числа на каком-то шаге деления перестают существовать, согласны и с тем, что материальные вещества в какой-то момент деления теряют вес, в то время как дети, несогласные с первым утверждением, не согласны и со вторым. И тем не менее, если понимание приходит не одновременно, отстает именно представление о бесконечной делимости чисел, то есть бесконечную делимость материальных сущностей (предметов) дети усваивают раньше бесконечной делимости нематериальных (чисел).
Понимание строения материи, таким образом, может стать трамплином к более сложному пониманию чисел. Бесконечная делимость, как и бесконечная плотность, — очень важная идея, которую можно перенести из одной области в другую. Подчеркивание параллелей между этими явлениями — очень продуктивная стратегия преподавания натуральных дробей и других видов рациональных чисел, например десятичных дробей и процентов[58]. Ученики, которых учили ассоциировать дроби с долей емкости, заполненной водой (веществом), успевают намного лучше, чем те, которым дроби показывали в виде кусков пирога (предмета). Предметы бывают полезны при освоении целых чисел, так как и то и другое дискретно, связано и едино, но дроби лучше объяснять на примере веществ, так как и то и другое непрерывно, делимо и обладает плотностью. Параллели между числами и материей проходят глубже, чем в самих этих областях.
Что тяжелее: килограмм пуха или килограмм золота? Конечно, ни то ни другое: килограмм и есть килограмм. Но вполне вероятно, что перед тем, как ответить на этот вопрос, вы на секунду задумались. Золото «весомее» пуха, и концепция тяжести вступает в противоречие с концепцией веса. Тяжесть и величина — это воспринимаемые качества материи. Они сохраняются при изменениях ее концептуального понимания и мешают рассуждать о материальных явлениях на протяжении всей нашей жизни[59].
Возьмем задачу о том, какой предмет утонет, а какой — нет. Взрослые быстро оценивают, что большие плотные предметы, например сковородка, идут ко дну, а легкие и воздушные, например упаковочный пенопласт, остаются на поверхности. Однако сравнить легкий, но при этом плотный предмет, например железную стружку, с тяжелым, но воздушным, например пенопластовой коробкой, уже сложнее. Даже если человек признает, что плотность — единственный параметр, имеющий отношение к задаче, тяжесть и величина все равно вмешиваются в рассуждения[60].
Тяжесть и величина нарушают и способность отделять материальные сущности от нематериальных. Если попросить человека быстро классифицировать «материальное» и «нематериальное», неощутимые вещества (чернильные пятна, духи, воздух) потребуют больше времени, чем ощутимые (камни, кирпичи, ботинки). Ошибки будут совпадать с детскими ошибками в аналогичных заданиях без ограничения времени. В одном из исследований скоростной классификации взрослые относили чернильные пятна к материи лишь в 85% случаев, духи — в 83%, а воздух — в 75%. И наоборот, в 35% случаев к материи причисляли гром, в 37% — свет звезд, а в 57% — молнию[61]. Даже Антуан Лавуазье, основоположник современной химии, был сбит с толку физической сущностью тепла и света. И то и другое он отнес к элементам материи[62].
Чтобы сбиться в рассуждениях о материи, не обязательно нужна нехватка времени. Люди ошибаются и в обычных ситуациях. Например, мы ставим заполненную до краев бутылку воды в холодильник, забывая, что она лопнет, когда вода внутри расширится. Мы переплачиваем за большие упаковки продуктов, не задумываясь об эквивалентности количества на единицу упаковки в товарах разных размеров. Мы перенапрягаемся, расчищая снег с дорожки, не осознавая, что скопление не имеющих тяжести снежинок — это десятки килограммов замерзшей воды. А еще мы не можем разобраться, наполовину пуст стакан или наполовину полон, хотя в действительности он заполнен целиком — отчасти жидкостью и отчасти газом.