5.4. Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек M, таких, что площади треугольников АМВ и NМС равны.
5.5. На плоскости даны два отрезка: AB и CD. Найдите геометрическое место точек M плоскости, для которых площади треугольников ABM и CDM равны.
5.6. Дан куб с ребром а. Найдите геометрическое место середин отрезков длины l, один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой — на непараллельной ей диагонали нижнего основания.
Глава 6
Свойства чисел. Делимость
6.1. Докажите, что р² − 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.
6.2. Докажите, что n³ + 2n при любом натуральном n делится на 3.
6.3. Докажите, что число 3105 + 4105 делится на 49 и 181.
6.4. Сколько в числе 500! содержится множителей 2?
6.5. Делится ли число 
на 81?
6.6. Определите, при каких целых значениях n выражение n4 + 4 является простым числом.
6.7. Докажите, что 
является целым числом при любом четном n.
6.8. При каких целых значениях x дробь 
сократима?
6.9. Найдите все пятизначные числа вида 
(x — цифра сотен, y — цифра единиц), которые делятся на 36.
6.10. Найдите трехзначное число 
(а, b, с — его цифры), если четырехзначное число 
в три раза больше четырехзначного числа 
.
6.11. Найдите простое число p, если p + 2 и p + 4 — простые числа.
6.12. Докажите, что tg 5° — число иррациональное.
6.13. Найдите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.
6.14. Найдите все целочисленные решения уравнения
3x² − 16xy − 35y² + 17 = 0.
6.15. Сколько различных целочисленных пар (x, y) удовлетворяют уравнению
x² = 4y² + 20 025?
6.16. Найдите натуральные x и y, удовлетворяющие условию 113x − 69y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.
Глава 7
Алгебраические преобразования
Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.
Множества точек x числовой оси, удовлетворяющих неравенствам
1) а < x < b;
2) а ≤ x ≤ b;
3) а ≤ x < b;
4) а < x ≤ b;
5) x > а;
6) x < а;
7) x ≥ а;
8) x ≤ а,
где а < b, называются интервалами и обозначаются соответственно (а, b); [а, b]; [а, b), (а, b]; (а, +∞); (−∞, а); [а, +∞); (−∞, а].
Интервалы 1), 5) и 6) называются открытыми; интервал 2) называется замкнутым; интервалы 3), 4), 7) и 8) называются полуоткрытыми. Иногда вместо терминов: открытый интервал, замкнутый интервал, полуоткрытый интервал используют соответственно термины: промежуток (или интервал), отрезок (или сегмент), полуотрезок.
По определению
Для арифметического корня имеет место формула
√а² = |а|.
Иногда приходится пользоваться формулами куба суммы и разности чисел в виде
(а + b)³ = а³ + b³ + 3аb(а + b);
(а − b)³ = а³ − b³ − 3аb(а − b).
Следующая формула называется формулой сложного радикала:
(все подкоренные выражения должны быть неотрицательными).
По определению
где а ≥ 0, m, n — натуральные числа и корень арифметический.