Из этого определения следует, что степени с отрицательным основанием и дробным показателем считаются не имеющими смысла. Например, 
не имеет смысла, в то время как 
.
По определению
По определению
α0 = 1 при а ≠ 0.
Чтобы избежать недоразумений, удобно договориться, что знак корня используется либо для обозначения арифметического корня из неотрицательного числа, либо отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа.
Таким образом, 
.
Для арифметических корней и корней нечетной степени из отрицательных чисел справедливо правило умножения и деления корней:
Правило, в силу которого показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же натуральное число, справедливо для арифметических корней и не справедливо для корней нечетной степени из отрицательных чисел.
Замечание. В качестве показателя корня используются только натуральные числа. Иногда встречаются задачи, где показатели — достаточно сложные алгебраические выражения. Во избежание путаницы лучше знак корня в таких задачах не использовать, а прибегать к дробным показателям степени.
7.1. Упростите выражение
7.2. Упростите выражение
7.3. Упростите выражение
После упрощения выражения определите его знак в зависимости от x.
7.4. Упростите выражение
7.5. Упростите выражение
где 
.
7.6. Вычислите значения выражения
7.7. Преобразуйте выражение
так, чтобы оно не содержало сложных радикалов.
7.8. Разложите на линейные относительно x, у, z, u множители выражение
(xy + zu)(x² − y² + z² − u²) + (xz + yu)(x² + у² − z² − u²).
7.9. Докажите, что
7.10. Докажите, что если а + b + с = 0, то
7.11. Докажите, что при всех действительных значениях x и у имеет место равенство
7.12. Докажите, что
для любых действительных x и у, имеющих одинаковые знаки.
7.13. Докажите, что из условия
следует
(а + b + с)³ = 27аbс.
7.14. Квадратный трехчлен 24х² + 48x + 26 есть разность кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найдите эти функции.
Глава 8
Делимость многочленов.
Теорема Безу. Целые уравнения
Многочлен S(x) называется частным, а многочлен R(x) — остатком от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), если равенство
P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)
является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).
Обобщенная теорема Виета. Для корней х1, х2, ..., хn уравнения
а0хn + a1xn − 1 + ... + аn − 1x + аn = 0
имеют место формулы:
,
,
.
Для уравнения a0xn + a1xn − 1 + ... + аn = 0 с целыми коэффициентами а0, а1, ... , аn верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень p/q , то p числитель является делителем свободного члена аn, а знаменатель q — делителем коэффициента а0.
В частности, если а0 = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена аn.