tg x = а, x = nπ + arctg а,
ctg x = а, x = nπ + arcctg а.
Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .
Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:
x = 2nπ + αrсsin а, x = π(2n + 1) − arcsin а.
Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.
Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим
x = nπ + (−1)n π/2.
При n = 2k получим x = 2kπ + π/2, а при n = 2k + 1 получим x = 2kπ + π − π/2 = 2kπ + π/2. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.
Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:
sin x = 0, x = nπ; sin x = 1, x = π/2 + 2nπ; sin x = −1, x = − π/2 + 2nπ;
cos x = 0, x = π/2 + nπ; cos x = 1, x = 2nπ; cos x = −1, x = (2n + 1)π;
tg x = 0, x = nπ; ctg x = 0, x = π/2 + nπ.
При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2kπ, x − у = 2lπ; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1)π, x − у = 2lπ. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x − у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x − у = πk может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.
Однородные уравнения. Уравнение вида
а0 sink x + а1 sink − 1 x cos x + ...
... + аk − 1 sin x cosk − 1 x + аk cosk x = 0 (1)
называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.
При α0 ≠ 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а0 sink x = 0, откуда sink x = 0, так как а0 ≠ 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.
Аналогично при ак ≠ 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.
Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.
Случай 1. a0 ≠ 0 и аk ≠ 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cosk x, мы получим (поскольку cos x ≠ 0) равносильное ему алгебраическое уравнение
а0ук + а1уk − 1 + ... + аk − 1у + аk = 0 (2)
относительно у = tg x.