Можно также делить уравнение (1) на sink x. Тогда (поскольку sin x ≠ 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое уравнение
а0 + а1z + ... + аk − 1zk − 1 + аkzk = 0 (3)
относительно z = ctg x.
Пример 1. Решить уравнение
sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x = 0. (4)
Разделив его на cos³ x, получим алгебраическое уравнение
у³ − 2у² − у + 2 = 0,
где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:
у1 = −1, у2 = 1, у3 = 2.
Теперь остается решить совокупность уравнений
tg x = −1, tg x = 1, tg x = 2.
Мы получим следующие корни уравнения (1):
x = nπ ± π/4 , x = nπ + arctg 2.
Случай 2. a0 = 0, или ak = 0, или а0 = ak = 0. Пусть, например, a0 = ak = 0, а a1 ≠ 0 и ak − 1 ≠ 0. Тогда уравнение (1) примет вид
a1 sink − 1 x cos x + a2 sink − 2 x cos² x + ...
... + ak − 2 sin² x cosk − 2 x + ak − 1 sin x cosk − 1 x = 0. (5)
В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение
sin x cos x (a1 sink − 1 x + a2 sink − 2 x cos x + ...
... + ak − 2 sin x cosk − 2 x + ak − 1 cosk − 1 x) = 0,
распадающееся на совокупность уравнений
sin 2х = 0,
a1 sink − 1 x + a2 sink − 2 x cos x + ...
... + ak − 2 sin x cosk − 2 x + ak − 1 cosk − 1 x = 0,
первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).
Пример 2. Решить уравнение
sin4 x cos x − 2 sin³ x cos² x − sin² x cos³ x + 2 sin x cos4 x = 0.
Левую часть уравнения разлагаем на множители:
sin x cos x (sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x) = 0. Получаем совокупность уравнений
sin x = 0, cos x = 0,
sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x = 0.
Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.
Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе
Если переписать эту систему в виде
то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что
Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = 3π/2, у = π/4 (ни при каком целом n из выражения π/4 + 3nπ/2 нельзя получить 3π/4).
В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x − у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.
Правильным было бы такое решение:
откуда
x = π/4 + (2т + n), у = − π/4 − π/2 (2т − n).