Глава 17
Функции и их свойства
17.1. Решите неравенство
4f(x) + g(x) ≤ 0,
если функции f(x) и g(x) удовлетворяют системе
17.2. Сколько различных действительных корней имеет уравнение f(f(x)) = 0, где f(x) = x³ − 6x² + 9x?
17.3. Найдите все целые x и у, удовлетворяющие системе
17.4. Решите систему уравнений
17.5. Дана функция f(x) = 6х² + 2х + 6. Известно, что ее график касается графика первообразной F(x) этой функции в точке, абсцисса которой превосходит число 0,7. Найдите все значения x, для которых
17.6. Изобразите на плоскости (x, у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
log(x − у)(x + у) ≥ 1.
17.7. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств
17.8. На координатной плоскости заданы точки A(0; 2), B(1; 7), С(10; 7) и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.
17.9. Фигура задана на координатной плоскости системой
Сколько интервалов на прямой у = 2 − x образует ортогональная проекция данной фигуры на эту прямую?
17.10. При каких значениях параметра а уравнение
x² − (а + 3)x + 2а + 7 = 0
имеет 2 различных целых корня?
17.11. В зависимости от а определите число действительных корней уравнения
х4 − (1 − 2а)x² + а² − 1 = 0.
17.12. При каких значениях параметра а уравнение
2(2а − 1) sin 4х − (а + 3) cos 8х + 3а = 1
имеет ровно восемь решений на отрезке [−π, π]?
17.13. На плоскости (x, у) укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства
у = x² + 2(а − 1)x + 2(а − 1)² − 1,
где а — действительное число.
Глава 18
Задачи на составление уравнений
При решении задач на составление уравнений основную трудность представляет перевод условия задачи с обычного языка на язык математических символов и уравнений. Наиболее ответственный этап этого процесса — выбор неизвестных. Нельзя шаблонно выбирать в качестве неизвестных величины, стоящие в вопросе задачи. Основное требование, которому должны отвечать выбранные неизвестные, состоит в том, чтобы с их помощью можно было прозрачно записать сформулированные в условии задачи соотношения.
Разберем в качестве примера следующую задачу.
Пример 1. Трое рабочих должны изготовить некоторое число деталей. Сначала к работе приступил первый, а через некоторое
время к нему присоединился второй. Когда 1/6 работы была выполнена, к работе приступил третий. Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый рабочий, если каждый изготовил одинаковое число деталей, причем третий работал на 2 ч меньше второго? Известно, что первый и второй, работая вместе, могут изготовить требуемое число деталей на 9 ч раньше, чем третий, если бы он работал один.
Известно, что каждый рабочий изготовил одинаковое число деталей, т. е. выполнил треть всей работы. С другой стороны, нет никаких сведений о числе деталей, изготовленных кем-либо в какой-либо промежуток времени. Это означает, что речь идет о работе «вообще», о том, что каждый выполнял какую-то часть этой работы, а потому всю работу следует принять за единицу. Ту же мысль подтверждает и условие, в силу которого третий рабочий приступил к работе, когда 1/6 работы (обратите внимание: 1/6 всей работы, а не 45 или 27 деталей) была уже выполнена.
Из условия следует, что рабочие работают по-разному, другими словами, они изготовляют разное число деталей за одно и то же время. Поэтому нужно ввести в рассмотрение производительность каждого из них. Однако через x, у и z мы обозначим не число деталей, изготовляемых в час первым, вторым и третьим рабочими соответственно, а ту часть всей работы, которую каждый из них выполняет за это время.