После всего сказанного должно быть очевидным, что мы легко перепишем условие задачи в виде системы уравнений, если введем в рассмотрение еще три неизвестные: t1, t2, t3 — время, затраченное соответственно первым, вторым и третьим рабочими. Так как каждый из них сделал за это время треть всей работы, то
t1x = t2у = t3z = ⅓. (1)
Мы получили три уравнения (их можно было написать в виде t1x = ⅓, t2у = ⅓, t3z = ⅓. K ним нередко добавляют четвертое:
t1x + t2у + t2z = 1,
которое должно отражать то обстоятельство, что в итоге вся работа была выполнена. Однако это уравнение не содержит никакой самостоятельной информации: оно является следствием первых трех и получается в результате их сложения. Поэтому последнее уравнение, хотя и верно составлено, но бесполезно для решения задачи.
Так как первый и второй рабочие вместе выполняют всю работу за 1/x + y ч, а третьему на это потребуется 1/z ч, то еще одно условие задачи можно записать так:
1/x + y + 9 = 1/z. (2)
Составим теперь уравнение, отражающее тот факт, что третий рабочий приступил к работе, когда ее 1/6 была выполнена. Другими словами, когда первый проработал t1 − t3 ч, а второй t2 − t3 ч, они сделали 1/6 всей работы:
x(t1 − t3) + у(t2 − t3) = 1/6. (3)
Добавляя к этим пяти уравнениям шестое:
t2 − t3 = 2, (4)
мы можем приступить к решению полученной системы уравнений.
Решая систему уравнений, как правило, следует держать в поле зрения два обстоятельства. Во-первых, систему уравнений нужно воспринимать в целом, так, как вы воспринимали бы ее, решая вне связи с задачей. Это позволит найти более рациональный ключ к ее решению. Во-вторых, нельзя упустить из виду те неизвестные (или комбинации неизвестных), которые позволят ответить на вопрос задачи. Благодаря этому можно обойтись без излишних вычислений.
В нашем примере второе обстоятельство должно побудить нас использовать уравнение (4) для упрощения уравнения (3), в результате чего из (3) будет исключено неизвестное t2, которое нас не интересует. Однако после замены t2 − t3 на 2 уравнение (3) потеряет симметрию относительно t1x и t2у, что затруднит использование уравнений (1). Если же в уравнении (3) раскрыть скобки и вспомнить, что xt1 = ⅓ и уt2 = ⅓, то получим уравнение
t3(x + у) = ½.
С его помощью можно выразить x + у через t3, а из уравнения zt3 = ⅓ можно выразить через t3 и неизвестное z. Подставляя эти выражения в (2), получим
2t3 + 9 = 3t3,
откуда
t3 = 9.
Дальнейшее решение системы не представляет труда. Находим последовательно: t2 = 11, z = 1/27, у = 1/33. Из уравнения (2) определяем x = 5/198 и t1 = 1/3x = 66/5. Итак, первый рабочий работал 13 ч 12 мин.
Эту же задачу можно было бы решить с помощью меньшего числа неизвестных, если ввести в рассмотрение, помимо величин x, у и z, имеющих прежний смысл, величину t, обозначающую время, в течение которого рабочие работали вместе, т. е. время работы третьего рабочего. Это привело бы нас к системе:
t(x + у + z) = 5/6 (1′)
(за время t рабочие сделали вместе 5/6 всей работы),
tz = (t + 2)у = ⅓ (2′)
(за время t третий рабочий сделал треть всей работы, а второму на это потребовалось на 2 ч больше),
1/x + y + 9 = 1/z (3′)