21.11. Определите число отличных от нуля коэффициентов в разложении
(1 + x² + х5)20 = а0 + а1х + а2х² + ... + а100х100.
21.12. Дана последовательность а1, а2, а3, ..., а10. Сколькими способами, сохраняя фиксированный порядок элементов последовательности, ее можно разбить на группы, каждая из которых состоит из одного элемента или двух рядом стоящих элементов?
21.13. На плоскости проведены m параллельных прямых и n прямых, пересекающих эти прямые и друг друга. Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?
Глава 22
Обратные тригонометрические функции
Определения обратных тригонометрических функций приводят к следующим соотношениям.
Если arcsin x = α (−1 ≤ x ≤ 1), то sin α = x и −π/2 ≤ α ≤ π/2 .
Если x ≥ 0, то 0 ≤ α ≤ π/2 ; если x ≤ 0, то −π/2 ≤ α ≤ 0.
Если arccos x = α (−1 ≤ x ≤ 1), то cos α = x и 0 ≤ α ≤ π.
Если x ≥ 0, то 0 ≤ α ≤ π/2; если x ≤ 0, то π/2 ≤ α ≤ π.
Если arctg x = α, то tg α = x и −π/2 < α < π/2.
Если x ≥ 0, то 0 ≤ α < π/2 ; если x ≤ 0, то −π/2 < α ≤ 0.
Если arctg x = α, то ctg α = x и 0 < α < π.
Если x ≥ 0, то 0 < α ≤ π/2; если x ≤ 0, то π/2 ≤ α < π.
Имеют место следующие соотношения[14]:
arcsin x + arccos x = π/2; arctg x + arcctg x = π/2;
arcsin (−x) = −arcsin x; arctg (−x) = −arctg x; arccos (−x) = π − arccos x; arcctg (−x) = π − arcctg x.
22.1. Докажите, что
2 arctg ¼ + arctg 7/23 = π/4.
22.2. Представьте выражение
arctg 7/9 + arcctg 8 + arcsin √2/4
в виде значения функции arcsin x.
22.3. Представьте выражение
arctg (−2) + arcsin ⅓ + arctg (−⅓)
в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.
22.4. Вычислите сумму
22.5. Найдите
arccos (sin π(x² + x − З)),
если 
22.6. Докажите, что если 0 ≤ x ≤ 1, то
22.7. Докажите, что выражение arcsin 
не зависит от x, если x < −1, и упростите его в этом случае.
Решите уравнения:
22.8. tg (З arcsin x) = 1.
22.9. arcsin 3x/5 + arcsin 4x/5 = arcsin x.
22.10. arcsin 2x + arcsin x = π/3.
22.11. arctg (2 + cos x) − arctg (2 cos² x/2) = π/4.
22.12. 
22.13. arctg (x − 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зx.
Глава 23
Область определения. Периодичность
Областью определения функции может быть вся числовая ось (у = x², у = sin x), луч с принадлежащей ему граничной точкой (у = √x , граничная точка x = 0 принадлежит области определения x ≥ 0) и с не принадлежащей ему граничной точкой (у = lg x), совокупность интервалов (замкнутых, открытых, полуоткрытых) и отдельных точек.
Важной характеристикой функции является ее периодичность. С помощью периодических функций можно описать явления, повторяющиеся через равные промежутки времени. Функция f(x) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0, что для любого значения аргумента x чи́сла x + T и x − T также являются значениями аргумента и выполняется равенство f(x + T) = f(x).